[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む16 [転載禁止]©2ch.net (683ﾚｽ)
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52(2): １３２人目の素数さん [sage] 2015/10/16(金) 09:29:03.34 ID:q0g452AG(1/5) AAS
>>45
おっちゃんです。
>>3の「Sの部分集合Tに対し、」の部分では「T≠Φ」を仮定していて、
超越基底の定義からS⊂Cなのだから、T⊂Cだな。そして、
>U={Q(T)^* :TはSの任意の部分集合}という集合はC^*の部分群の集合
では、複素数体Cの有理数体Q上の超越基底Sとしていて、同様に定義から、C＝Q(S)から
C^*＝Q(S)^* だから、Uは「C^*の部分群(全体からなる集合)の(部分)集合」になる。
例えば、通常の乗法についてのC^*の部分群{1}は、体ではないから、集合Uには属さない。
このことからも、Uは、部分集合なることは分かる。後は、Sの濃度card(S)が2^{ℵ_0}＝c
に等しいから、Uの定義からcard(U)がSのべき集合の濃度2^cに等しいことがいえる。そして、
>T_1とT_2が相異なっていればQ(T_1)^*とQ(T_2)^*も相異なるのでUは実数体のべき集合の濃度を持つ。
では、(多分)Sの「部分集合T全体」のUにおける特性関数を考えて、card(U)＝2^c といっている。あとは、
>よってC^*の部分群全体の集合の濃度は実数体のべき集合の濃度を下回らない。
では、card(C^*)＝card(R^*)＝c を使って、(多分)R^*のベキ集合Bの濃度card(B)が＝2^c
なることをいって、同様に、C^*のベキ集合Aの濃度card(A)が＝2^cなることをいっている。
だから、最後は、card(U)＝2^c、card(B)＝2^c から card(U)＝card(B) が従い、実数体Rの濃度
はcard(B)に等しいことから、card(U)＝card(R) といっている。
54(1): １３２人目の素数さん [sage] 2015/10/16(金) 14:29:37.63 ID:q0g452AG(3/5) AAS
>>45
>>52の最後の
>実数体Rの濃度はcard(B)に等しいことから、card(U)＝card(R) といっている。
の部分の「実数体Rの濃度」は「実数体Rのベキ集合の濃度」の間違いな。
このことは、card(R^*)＝card(R)＝c なのだから、すぐ分かるな。
まあ、今度は18日の日曜に来るわ。
55: １３２人目の素数さん [sage] 2015/10/16(金) 14:41:50.26 ID:q0g452AG(4/5) AAS
>>45
あ〜、>>54の訂正については取り消しで、正しくは、>>52の最後の
>だから、最後は、card(U)＝2^c、card(B)＝2^c から card(U)＝card(B) が従い、実数体Rの濃度
>はcard(B)に等しいことから、card(U)＝card(R) といっている。
の部分は、
>だから、最後は、card(U)＝2^c、card(B)＝2^c から card(U)＝card(B) が従い、「実数体Rのベキ集合の濃度」
>はcard(B)に等しいことから、card(U)＝card(「Rのベキ集合」) といっている。
と訂正な。何れにしろ、card(R^*)＝card(R)＝c なのだから、すぐ分かるな。
まあ、今度は18日な。
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