現代数学の系譜11 ガロア理論を読む16 [転載禁止]©2ch.net

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3(11): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/11(日) 20:32:20.17 ID:RDXEzJ3O(3/6) AAS
旧スレより転載

2chｽﾚ:math
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む15
407 返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2015/09/13(日) 23:17:25.69 ID:8lVD4F4L

「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か
理由を付して述べよ

564 返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2015/10/03(土) 07:34:36.14 ID:ikZEN+WS
では私の解答を書いておきます。
命題:C^*を0でない複素数全体のなす乗法群とする。C^*の部分群全体の集合は実数体のべき集合の濃度を持つ。

証明:複素数体Cの有理数体Q上の超越基底Sをとる。このときSは非可算濃度を持つ。また、SはCの部分集合であることから
Sの濃度は実数体の濃度に等しい。Sの部分集合Tに対し、Q(T)をQにTを付加して得られる体、そしてQ(T)^*を
Q(T)の0でない元全体のなす乗法群とする。するとU={Q(T)^* :TはSの任意の部分集合}という集合はC^*の部分群の
集合であり、T_1とT_2が相異なっていればQ(T_1)^*とQ(T_2)^*も相異なるのでUは実数体のべき集合の濃度を持つ。
よってC^*の部分群全体の集合の濃度は実数体のべき集合の濃度を下回らない。
このことと、C^*のべき集合の濃度が実数のべき集合の濃度に等しいことから命題が従う。(証明終わり)

617 返信：564[] 投稿日：2015/10/09(金) 09:57:44.27 ID:h0FUr9tN
>>597
じゃあ類題を出します。
問題:複素数体Cの「加法」部分群全体の集合の濃度を求めよ。

これは元の問題の理解度を示す良い試金石だと思います。
これを解いてくれませんか？

4(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/11(日) 20:34:36.12 ID:RDXEzJ3O(4/6) AAS
>>3 つづき

「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」
は、個人的には新作問題かなと

もとは、おっちゃんの作った問題があって、それを非加算濃度→連続濃度の”べきの濃度”にひねったんだ

6(5): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/11(日) 20:37:37.94 ID:RDXEzJ3O(6/6) AAS
>>3 つづき

ここで、564の解答があるから、>>617は別に難しくない
というか、・・・、まああんまり書くとネタばらしだから、控えておこう・・

12(6): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/12(月) 07:41:37.01 ID:bHE7evZI(3/30) AAS
>>7
どうも。スレ主です。

このスレの趣旨をご理解頂きありがとう
まあ、スレ主の勉強のためのスレではあるけれども、一方みなさまのためのスレでもなければならない
だから、みなさんにも楽しんで貰うことも重要なのだ
もちろん、全ての人を満足することは難しいとしても、多くの人に楽しんで貰うを目指したい

ところで、気がついて頂いたようだが、前スレで引用した角皆宏（ツノガイヒロシ）先生のPDFは解答の参考になると。それを見れば私がほぼ理解していると・・
もちろん、理解と証明を書くこととは別だ。とくに試験場ではね。が、まあ自宅で時間をかければ、理解がすすめば大概は
また、617の問題（>>3に引用）は、564の解答（>>3に引用）があれば、簡単でしょうよ。564の解答が無ければ、別だが

ところで、新主題に対して、過去スレで引用した下記がある
名無しさんになっているが、私だ。
このPDFが、問題>>7の参考になるだろう
2chｽﾚ:math
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13
78 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2015/04/11(土) 23:10:01.30 ID:pLE9DoNh
http://www.juen.ac.jp/math/nakagawa/basicmath.pdf
数学基礎演習 – 集合と位相 – 2014 年度後期中川仁（なかがわじん）上越教育大学

命題1.23. X, Y がともに可算集合ならば，直積集合X Y も可算集合である．
例1.18 と命題1.23 より，Z^2 は可算集合である．帰納的にZ^n は可算集合である．
命題1.24 と命題1.23 より，Q^2 は可算集合である．帰納的に，Q^n は可算集合である．

13(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/12(月) 07:56:55.88 ID:bHE7evZI(4/30) AAS
>>12 つづき

訂正：新主題→新出題

ところで>>7に戻るが「問題:複素数体の閉集合全体の集合の濃度を求めよ。
ただし複素数体にはユークリッド位相が入っているものとする。」

は、「問題:複素数体にはユークリッド位相が入っているものとする。
複素数体の閉集合全体の集合の濃度を求めよ。」の方が流れが良いだろう

いわずもがなだが、閉集合は定義次第。先にユークリッド位相を宣言すべき。”但し・・”と後付けで書く流儀もあるが、それは”但し・・”の部分が軽いとき（例えばほぼ自明だが念のためとか）
この場合も閉集合は自明に近いが、先の方が流れが良いと思った

ところで、私スレ主が位相に弱いと思っての心遣いと思うが、今後はご無用に
位相に弱いは当たっているし、これはこれで良いが、このスレは単純に問題と解答というスレではないと

位相の勉強を、問題ー解答だけでやっているときりながないだろ？
出題に戻ると、「第一感、簡単じゃないか」と思ったが、結構難しかった。解けたけどね。が、解答を書くと、>>3の解答のネタばらしになるから後で

45(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/12(月) 18:08:35.95 ID:bHE7evZI(28/30) AAS
それはさておき、おっちゃんは
>>3に引用した旧スレ564の超越基底Sを使う証明は納得しているの？それをちょっと確認しておきたかったんだ（＾＾

52(2): １３２人目の素数さん [sage] 2015/10/16(金) 09:29:03.34 ID:q0g452AG(1/5) AAS
>>45
おっちゃんです。
>>3の「Sの部分集合Tに対し、」の部分では「T≠Φ」を仮定していて、
超越基底の定義からS⊂Cなのだから、T⊂Cだな。そして、
>U={Q(T)^* :TはSの任意の部分集合}という集合はC^*の部分群の集合
では、複素数体Cの有理数体Q上の超越基底Sとしていて、同様に定義から、C＝Q(S)から
C^*＝Q(S)^* だから、Uは「C^*の部分群(全体からなる集合)の(部分)集合」になる。
例えば、通常の乗法についてのC^*の部分群{1}は、体ではないから、集合Uには属さない。
このことからも、Uは、部分集合なることは分かる。後は、Sの濃度card(S)が2^{ℵ_0}＝c
に等しいから、Uの定義からcard(U)がSのべき集合の濃度2^cに等しいことがいえる。そして、
>T_1とT_2が相異なっていればQ(T_1)^*とQ(T_2)^*も相異なるのでUは実数体のべき集合の濃度を持つ。
では、(多分)Sの「部分集合T全体」のUにおける特性関数を考えて、card(U)＝2^c といっている。あとは、
>よってC^*の部分群全体の集合の濃度は実数体のべき集合の濃度を下回らない。
では、card(C^*)＝card(R^*)＝c を使って、(多分)R^*のベキ集合Bの濃度card(B)が＝2^c
なることをいって、同様に、C^*のベキ集合Aの濃度card(A)が＝2^cなることをいっている。
だから、最後は、card(U)＝2^c、card(B)＝2^c から card(U)＝card(B) が従い、実数体Rの濃度
はcard(B)に等しいことから、card(U)＝card(R) といっている。

56: １３２人目の素数さん [sage] 2015/10/16(金) 15:45:19.93 ID:q0g452AG(5/5) AAS
>>45
まあ、正確には「card(U)＝card(「Rのベキ集合」) 」は「card(「乗法群C^*の部分群全体」)＝card(「Rのベキ集合」) 」だな。
U⊂乗法群C^*の部分群全体⊂C^*のベキ集合A で、card(U)≦card(乗法群C^*の部分群全体)≦card(A) だから、
card(A)＝card(U)＝2^c から 2^c≦card(乗法群C^*の部分群全体)≦2^c で、ベルンシュタインの定理から
card(乗法群C^*の部分群全体)＝2^c が従うと。まあ、>>3では、暗にそういうことをいっている。日曜まで、そんじゃね。

73(8): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/17(土) 20:25:38.31 ID:ZRSuwEga(5/16) AAS
>>71 つづき

では、私から >>3「問題:複素数体Cの「加法」部分群全体の集合の濃度を求めよ。」を
”もう一つは、「 C^*の部分群全体の集合は実数体のべき集合の濃度を持つ」に帰着させるんだが、簡単な方法を見つけたので、それを書きます”>>

１．まず、実数体Rに対する有理数体Qからの超越基底Sによる体の拡大を考える
２．超越基底Sは、全て正に取ることができる。（∵もしs1∈Sで、s1＜0なら、-s1に基底を取り直すことで、正の超越基底Sに直すことができるから）
３．ここで、実数体Rで、0より大の実数（+Rと表す）の成す乗法群を考え、G(+R)と表す
４．有理数体Qの正の部分と超越基底Sとの組み合わせから成る群を考える。これをG(S,+Q)とする。明らかに、G(S,+Q)⊆G(+R)である
５．超越基底Sの任意の二つの部分集合S1,S2でS1≠S2を考える。一般性を失わずに、集合S2に含まれないs1'∈S1が存在するとできる。（∵もしs1'∈S2にそのような要素があればS1,S2の番号付けを変えれば良いから）
５．４と同じように、超越基底Sの部分集合S1,S2による正の乗法群を考える。明らかにG(S1,+Q)≠G(S2,+Q)である。（∵超越基底の定義から、s1'はG(S2,+Q)に含まれないから）
６．よって、0より大の実数（+Rと表す）の成す乗法群G(+R)の部分群の集合の濃度は、超越基底Sの部分集合からなる集合の濃度に等しい
７．超越基底Sは、連続無限の濃度を有する（証明略。>>3参照）から、その部分集合からなる集合の濃度は実数体のべき集合の濃度を持つ。
８．さて、0より大の実数（+Rと表す）の成す乗法群は、対数関数logによって、加法群に変換できる。
９．G(S1,+Q)≠G(S2,+Q)であれば、この二つの群を対数関数logによって、加法群に変換した群も異なる。（証明略。背理法によって証明できる。）
１０．従って、加法群から成る群の集合も実数体のべき集合の濃度を持つ。
１１．蛇足だが、複素数体Cは、実数体Rに虚数iを添加した体だから、加法としては単純で、R+Riの形になるから、複素数体Cの「加法」部分群全体の集合の濃度も同様である。

78(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/17(土) 21:24:01.65 ID:ZRSuwEga(9/16) AAS
>>77 つづき
で
１．まず、>>3の564さんの証明にならって、複素数体Cの有理数体Q上の超越基底Sをとる。このときSは非可算濃度を持つ。
２．あとは、>>73と類似
３．超越基底Sの任意の二つの部分集合S1,S2でS1≠S2を考える。一般性を失わずに、集合S2に含まれないs1'∈S1が存在するとできる。（∵もしs1'∈S2にそのような要素があればS1,S2の番号付けを変えれば良いから）
４．有理数体Qに対し、部分集合S1,S2による拡大体を考える。これをF(S1),F(S2)とする。明らかにF(S1)≠F(S2)である。（∵超越基底の定義から、s1'はF(S2)に含まれないから）
５．F(S1),F(S2)からゼロを除いた乗法群を考えると、明らかにこの二つの群は異なる。（∵超越基底の定義から、s1'はF(S2)から成る群に含まれないから）
６．これによって、”C^*の部分群全体の集合は実数体のべき集合の濃度を持つ”が従う。（証明略。>>3参照）
７．同様に、F(S1),F(S2)から加法群を考えると、明らかにこの二つの群は異なる。（∵超越基底の定義から、s1'はF(S2)から成る加法群に含まれないから）
８．６と同様に、複素数体Cの「加法」部分群全体の集合の濃度は、実数体のべき集合の濃度に等しい。

この証明は、一見「 C^*の部分群全体の集合は実数体のべき集合の濃度を持つ」に帰着させているように見えるかも知れない
が、本質は”超越基底Sの任意の二つの部分集合S1,S2でS1≠S2なら、F(S1)≠F(S2)”ってこと。これから、乗法群も加法群も異なることが導かれる
つまり、これ超越基底Sの本質（定義）そのもの

もっと言えば、超越基底Sを個別の要素として見るのではなく、超越基底Sを全体（集合）として見るってところが、ポイントだと思うんだ
まあ、おそらくこれが出題意図だろう（＾＾

83(5): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/17(土) 23:11:26.59 ID:ZRSuwEga(13/16) AAS
>>82 つづき

１．さて、>>78のように、超越基底Sの任意の二つの部分集合S1,S2でS1≠S2を考える。一般性を失わずに、集合S2に含まれないs1'∈S1が存在するとできる。（∵もしs1'∈S2にそのような要素があればS1,S2の番号付けを変えれば良いから）
２．複素平面が、ハウスドルフ空間であることを認めるものとする。
３．とすると、部分集合S2の各要素の周囲に十分小さな開球を取ることができ、s1'∈S1を含まないようにできる。
４．同様に、和集合S1∪S2の各要素の周囲に十分小さな開球を取ることができ、ハウスドルフ空間であるから、各開球は分離できる
５．よって、蛇足だが、結局S1,S2に対し、各要素の周囲に十分小さな開球を取ることで、S1に属する開球の集合とS2に属する開球の集合は、異なるように取れる
６．ユークリッド位相を仮定しているから、開球は開集合でもある
７．開集合の性質より、「必ずしも有限個でない開集合の族の和集合はまた開集合である」>>82から、S1及びS2に属する開球の集合（和集合）は開集合であり、この二つの開集合は異なる
８．よって、超越基底Sの任意の二つの部分集合S1,S2から、異なる二つの開集合を作ることができる
９．よって、開集合の濃度は、超越基底Sの部分集合からなる集合の濃度以上である。つまり、実数体のべき集合の濃度以上。（証明略。>>3参照）
１０．一方、任意の開集合は、複素平面に含まれる。つまり、複素数体の部分集合でもある。だから、開集合の濃度は、複素数体の部分集合から成る集合の濃度以下。つまり、実数体のべき集合の濃度以下（この証明略）。
１１．９及び１０より、開集合の濃度は、実数体のべき集合の濃度に等しい。
１２．閉集合を、開集合の補集合とする。開集合と閉集合とは一対一対応がつく。つまり濃度は等しい。

（３～５は、ハウスドルフ空間であることを認めた時点で自明で、もっと簡潔な記述が可能と思うが、かみ砕いて書いた。）

90(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/18(日) 08:07:27.42 ID:AbOcHf9K(3/9) AAS
>>89
564さん、どうも。スレ主です。

>3から5の議論がおかしいです。
>ハウスドルフ性からそのようなことは従いません。
>ハウスドルフ性は「有限個の」点を開近傍で分離できるというものですので。

君はいつも鋭いね。レベル高い。おそらく私よりも
が、（３～５は、ハウスドルフ空間であることを認めた時点で自明で、もっと簡潔な記述が可能と思うが、かみ砕いて書いた。）>>83
と注釈を付けたろう？
>>81に引用したように、「実数の集合は、その上に通常定義される位相構造によってハウスドルフ空間になっている」
というより、実数の集合の性質から、ハウスドルフという性質が抽出され抽象化されたんだ

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%82%99%E6%80%A7
実数の完備性: 実数の完備性は実数を公理的に定義する際に必要とされる性質の一つ。この場合の完備性は、実数全体の成す集合 R を距離空間と見た場合の完備性、あるいは R を半順序集合と見た場合の完備性の何れの意味とも取ることができる。
つづく

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