[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む16 [転載禁止]©2ch.net (683ﾚｽ)
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266(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/11/01(日) 17:51:25.80 ID:KxTJyOv3(22/31) AAS
>>265 つづき
最後の"連続の非加算濃度の開集合族を構成"
これもパクリです
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13131775278 polepoledefさん 2014/7/1213:22:17 - Yahoo!知恵袋:
ユークリッド空間R^Nの開集合全体からなる集合系の濃度が連続体濃度であることの証明を教えてください。
ベストアンサーに選ばれた回答 siolaglebaさん 2014/7/1406:53:58
次の定理を使う
(1)Ｒ^Nの位相Ｏには、可算基底Ｕがある。
(2)可算集合の巾集合の濃度は、連続体濃度(実数の濃度)と一致する。
可算基底Ｕの巾集合をＰ(Ｕ)で、Ｏから空集合を除いた集合をＯ*で表す。
Ｐ(Ｕ)からＯ*への写像θを
A∈Ｐ(Ｕ)に対し、
θ:A→∪[X∈A]X
で定義すると
θは全射。
Ｐ(Ｕ)の濃度は、連続体濃度。
ＯとＯ*の濃度は、等しい。
が言えるから
｢Ｏの濃度は、連続体濃度以下｣
が言える。
ＲからＯへの写像λを
x∈Ｒに対し、
λ:x→(x,∞)×Ｒ^(N-1)
で定義すると
λは単射だから
｢Ｏの濃度は、連続体濃度以上｣が言える。
以上から、｢Ｒ^Nの位相Ｏの濃度は、連続体濃度と一致する｣ことが示された。
267(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/11/01(日) 17:59:27.96 ID:KxTJyOv3(23/31) AAS
>>266 つづき
１．ユークリッド空間R^N→複素平面（二次元）あるいは実数軸（一次元）は”自明”でいいでしょ
２．任意の開集合は連続の濃度が言えたから、その補集合の閉集合の濃度も連続の濃度が言える QED
追記
実際の順序は、 １）Yahoo!知恵袋、２）”可算基底”で検索、３）第一可算公理と第二可算公理を知る、４）幾何学序論講義ノート 佃修一 琉球大学 2014 年を見つける
なんだ （＾＾；
277(1): １３２人目の素数さん [sage] 2015/11/02(月) 02:40:45.66 ID:z9zAyjiR(1/14) AAS
>>260
何か私が考えたり書いたりしたことは、予想が真逆で結果的には無意味だったようだな。>>7には
>似たような問題でもう少し難しいものを出しておきます。
とあったから、似た類の問題と捉え、超越基底の手法が通用しないから最初集合論だと思ったんだが。
位相の問題だったのか。>>266を見ると有名な問題のようだから、お久しぶりに現代数学概説Ⅰ、Ⅱの
位相の部分を見たが、その類の問題に関する定理とかは載っていない。
どうやらはじめて知ったことのようだ。
279(1): １３２人目の素数さん [sage] 2015/11/02(月) 03:11:37.80 ID:z9zAyjiR(3/14) AAS
>>260
まあ、距離空間RやR^nが可分であることや、それと>>266の
>(1)Ｒ^Nの位相Ｏには、可算基底Ｕがある。
とが同値であることは例に載っているが、その(1)の定理を最初から証明しようとすると、
全部導き出す形になって、単純に1行で済むようには書いていない。
(1)の結果を使っていいなら、それだけ書けば、それで済むとしかいいようがない。
284(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/11/02(月) 09:31:49.63 ID:Ra+GZ3GJ(2/14) AAS
>>277-281
どうも。スレ主です。
可算公理あるいは、可算基底というキーワードで、この問題の本質は終わっている
だから、キーワードを書いてしまったら、面白くもなんともない問題なんだ
>>7は、閉集合という言葉で、位相を思いつかないように隠蔽してあるんだ
まあ、すぐに開集合を使う方針を採用したが
流れから、超越基底Sを使えばできるように思ったんだよね。それが失敗だと気付くのに何日か掛かった
いま思っても、可算公理あるいは、可算基底というキーワードは、自力では無理だわ（＾＾；
時代の天才たちが、何人も何年も心血を注いで構築したトポロジーの基礎。そんなものを、自分が数年考えたところで到達できるはずもなく・・・
もちろん、検索しました。が、検索は、いかに、適切なキーワードを選ぶかだ。それが数学的センスでもあるんだ
Yahoo!知恵袋 >>>266 は、方針を切り替えたら、結構早くヒットした。
その前は、”「1 点からなる集合{p} は閉集合である」として、これら無限を含む任意の組み合わせが、閉集合であることが言えれば、連続のべきの濃度が言える”>>273という方針を立てていたときもあったけど
”(1)Ｒ^Nの位相Ｏには、可算基底Ｕがある。”というコンセプトに気付くか（調べることも含め）が、キーなんだ。気付かなければ解けないと思う（＾＾；
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