[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む16 [転載禁止]©2ch.net (683ﾚｽ)
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265(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/11/01(日) 17:41:57.99 ID:KxTJyOv3(21/31) AAS
>>264 つづき
さらに補足
・n 次元ユークリッド空間R^n は、第二可算公理をみたし、可算基Bが存在する
・よって、任意の開集合は、可算基Bの組み合わせで尽くされる
・だから、その濃度は連続の非加算濃度を超えない
・あとは、下限評価として、実際に連続の非加算濃度の開集合族を構成すれば良い
266(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/11/01(日) 17:51:25.80 ID:KxTJyOv3(22/31) AAS
>>265 つづき
最後の"連続の非加算濃度の開集合族を構成"
これもパクリです
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13131775278 polepoledefさん 2014/7/1213:22:17 - Yahoo!知恵袋:
ユークリッド空間R^Nの開集合全体からなる集合系の濃度が連続体濃度であることの証明を教えてください。
ベストアンサーに選ばれた回答 siolaglebaさん 2014/7/1406:53:58
次の定理を使う
(1)Ｒ^Nの位相Ｏには、可算基底Ｕがある。
(2)可算集合の巾集合の濃度は、連続体濃度(実数の濃度)と一致する。
可算基底Ｕの巾集合をＰ(Ｕ)で、Ｏから空集合を除いた集合をＯ*で表す。
Ｐ(Ｕ)からＯ*への写像θを
A∈Ｐ(Ｕ)に対し、
θ:A→∪[X∈A]X
で定義すると
θは全射。
Ｐ(Ｕ)の濃度は、連続体濃度。
ＯとＯ*の濃度は、等しい。
が言えるから
｢Ｏの濃度は、連続体濃度以下｣
が言える。
ＲからＯへの写像λを
x∈Ｒに対し、
λ:x→(x,∞)×Ｒ^(N-1)
で定義すると
λは単射だから
｢Ｏの濃度は、連続体濃度以上｣が言える。
以上から、｢Ｒ^Nの位相Ｏの濃度は、連続体濃度と一致する｣ことが示された。
273(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/11/01(日) 20:59:02.71 ID:KxTJyOv3(28/31) AAS
>>265 補足
>・あとは、下限評価として、実際に連続の非加算濃度の開集合族を構成すれば良い
「ユークリッド空間R^n の1 点からなる集合{p} は閉集合である」を使えば、数直線上の任意の点rから成る閉集合族が考えられるから、明らかに濃度は連続体の濃度
そして、閉集合の補集合として開集合を考えれば、これまた濃度は連続体の濃度になるのだった
可算公理を知る前は、これで連続のべきの濃度をが言えるかと思った時期もあった
つまり、「1 点からなる集合{p} は閉集合である」として、これら無限を含む任意の組み合わせが、閉集合であることが言えれば、連続のべきの濃度が言えるから
しかし、これはできない
閉集合では、有限なら、任意の組み合わせが閉集合であることが言えるが、無限はだめ
開集合では、有限無限ともOKなんだ （開集合では交叉が有限に限られる） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93
これは、公理がそうなっているんだが（＾＾；
なぜだろうか？
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