[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む16 [転載禁止]©2ch.net (683ﾚｽ)
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107(5): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/18(日) 20:39:39.50 ID:AbOcHf9K(9/9) AAS
>>97-104
おっちゃん、どうも。スレ主です。
８連投ありがとうございます
まあ、しかし、こんな２ちゃんねるの制約のある板で
まともに証明を書こうという根性がすごいね
私ら、>>78みたくだらだら、文章で書き流してしまった
手書きだと逆で、きっと数学記号を多用する
が、多くの数学記号がキーボードから入力しにくい
だから、つい書きやすい文章にして、書き流してしまうんだ
111(2): １３２人目の素数さん [sage] 2015/10/20(火) 14:23:15.46 ID:uHJfL3Em(1/4) AAS
>>107
おっちゃんです。>>97の包含関係「A⊂B⊂H⊂R」は、正しくは「包含関係はA⊂H⊂B⊂R」だった。
この間違いは議論には余り影響しない。>>99-100には見落としがあった。
nを1≦n＜ℵ_0なる自然数としたとき、任意の加法部分群G∈G(n)⊂C
に対して、次のように特性関数fを定義する：
Gに平面Cの加法部分群G＋iRを対応させるとき、f(G)＝1、
mを1≦m＜ℵ_0なる任意の自然数として、或る加法部分群H∈G(m)⊂Cを
任意に取って、GにG＋iHを対応させるとき、f(G)＝0。
そうすると、集合G(n)の濃度をcard(G(n))＝cと求めた後に、今度は
実部の加法部分群がG(n)のGであるような、平面Cの加法部分群の濃度が2^cと求まると。
尚、こういう特性関数の定め方は一意には決まらない。他のやり方でもいい。
だから、本当は、実部の加法部分群(Z上の有限次元の線型空間)を御丁寧に求めてなんていうことせずに、
実部の加法部分群がZ上の有限次元の線型空間であるような、平面Cの加法部分群の濃度を、
一気に2^cと求めなければならなかったと。こういう操作は実部と虚部を入れ替えても同様。
112(3): １３２人目の素数さん [sage] 2015/10/20(火) 14:26:32.58 ID:uHJfL3Em(2/4) AAS
>>107
(>>111の続き)
しかし直観に反するな。実軸方向への幾何ベクトルと虚部方向への幾何ベクトルは
直交するから、直観的には日曜に書いたような方針で濃度が自然に求まる筈なんだが。
直線R上に、何らかの、局所的に1点の閉包がその点だけからなったり
或るε-近傍に含まれたりするような加法部分群が、個数としては、
2^cの濃度に等しくなるように存在するということだろうな。
純代数的に無限次元のときをことを考えることは出来ないわな。無限級数を考えたとき、
e^π＝Σ_{n=0,1,…,∞}(1/(n！))(π)^0 (π)は超越数だが、
e^{log(2)}＝Σ_{n=0,1,…,∞}(1/(n！))(log(2))^0 (log(2)は超越数)
は有理数2に等しく、そんな方針通用しない。
113(1): １３２人目の素数さん [sage] 2015/10/20(火) 14:31:10.89 ID:uHJfL3Em(3/4) AAS
>>107
まあ、今書いたのは気楽に書いた文章だから、気軽に読んで下さいな。
114(1): １３２人目の素数さん [sage] 2015/10/20(火) 14:55:51.13 ID:uHJfL3Em(4/4) AAS
>>107
>>112の
>e^π＝Σ_{n=0,1,…,∞}(1/(n！))(π)^0
>e^{log(2)}＝Σ_{n=0,1,…,∞}(1/(n！))(log(2))^0
は
>e^π＝Σ_{n=0,1,…,∞}(1/(n！))(π)^n
>e^{log(2)}＝Σ_{n=0,1,…,∞}(1/(n！))(log(2))^n
の間違い。
116(1): １３２人目の素数さん [sage] 2015/10/21(水) 14:06:19.27 ID:vSvYhfyL(1) AAS
>>107
おっちゃんです。よく考えたら、私の方法では扱えない致命的な場合があった。
eやπを超越数として、超越拡大体Q(e)やQ(π)などの場合がそれにあたる。
Q(e)は、任意のn∈Zに対してe^n∈Q(e)を満たし、1,e,…,e^nはQ上(従ってZ上)線型独立だから、
基底{1,e,…,e^n}を取り出したと同時に、その基底によって張られるZ上の線型空間の階数がn+1と定まる。
だが、整数n∈Zは上下に有界でなく、Q(e)は1変数有理関数体Q(X)に同型で、Q(e)やQ(e)＋iQ(π)自体が
既に複素平面C(直線R)の加法部分群だから、それに属する点を取り出さないと
Rの階数(例としては、先のn+1な)が定まらないような、加法部分群の構造
を持つ対象に対しては、私の方針では無力だったと。そういうことだ。
Z上の線型空間だけを扱っていて、超越拡大体の構造自体は扱ってなかったから、そうなるわな。
以上、反省会でした。
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