[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む16 [転載禁止]©2ch.net (683ﾚｽ)
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52(2): １３２人目の素数さん [sage] 2015/10/16(金) 09:29:03.34 ID:q0g452AG(1/5) AAS
>>45
おっちゃんです。
>>3の「Sの部分集合Tに対し、」の部分では「T≠Φ」を仮定していて、
超越基底の定義からS⊂Cなのだから、T⊂Cだな。そして、
>U={Q(T)^* :TはSの任意の部分集合}という集合はC^*の部分群の集合
では、複素数体Cの有理数体Q上の超越基底Sとしていて、同様に定義から、C＝Q(S)から
C^*＝Q(S)^* だから、Uは「C^*の部分群(全体からなる集合)の(部分)集合」になる。
例えば、通常の乗法についてのC^*の部分群{1}は、体ではないから、集合Uには属さない。
このことからも、Uは、部分集合なることは分かる。後は、Sの濃度card(S)が2^{ℵ_0}＝c
に等しいから、Uの定義からcard(U)がSのべき集合の濃度2^cに等しいことがいえる。そして、
>T_1とT_2が相異なっていればQ(T_1)^*とQ(T_2)^*も相異なるのでUは実数体のべき集合の濃度を持つ。
では、(多分)Sの「部分集合T全体」のUにおける特性関数を考えて、card(U)＝2^c といっている。あとは、
>よってC^*の部分群全体の集合の濃度は実数体のべき集合の濃度を下回らない。
では、card(C^*)＝card(R^*)＝c を使って、(多分)R^*のベキ集合Bの濃度card(B)が＝2^c
なることをいって、同様に、C^*のベキ集合Aの濃度card(A)が＝2^cなることをいっている。
だから、最後は、card(U)＝2^c、card(B)＝2^c から card(U)＝card(B) が従い、実数体Rの濃度
はcard(B)に等しいことから、card(U)＝card(R) といっている。
53(4): １３２人目の素数さん [sage] 2015/10/16(金) 12:10:12.20 ID:q0g452AG(2/5) AAS
>>43
>>47
確かに>>39などの文章「だけ」では間違いになるが、39の考え方は使える。
(1)：39では、Cの加法部分群全体の、或る、複素平面C上の1次元の連結な加法部分群の、全体の、場合になる。それだから、
(2)：今度は、Cの加法部分群全体の、或る、複素平面C上の直線上の不連結な加法部分群の、全体の、場合を考えればいい。
(2-1)：この場合は、はじめに、加法群R上の不連結な加法部分群全体A_1の濃度card(A_1)を、求めればいい。
濃度がcard(R)＝cなる加法群Rの不連結な加法部分群を考えているから、A_1の群Gを任意に取ると、
任意の点a∈G(,R)の閉包は1点aからなる空間{a}⊂Rになることに着目すると、加法群の定義とA_1の定義から、
card(A_1)＝c になる。これは、A_1からRへの全単射が存在すること、換言すれば、
任意の群G∈A_1が、G＝{na|n∈Z, aは直線R上の或る定まった1点} と表せることから分かる。
(2-2)：で、次に、Cの加法部分群全体の、或る、平面C上の、如何なる直線上にもすべての点が存在する訳ではない
ような、不連結な加法部分群の、全体の、場合、を考えればいいが、この場合の濃度は、39と同様に考えれば、
(2-1)から、Cの加法部分群全体の、或る、平面C上の、如何なる直線上にもすべての点が存在する訳ではない
ような、不連結な加法部分群の、全体の、濃度は、(2^{ℵ_0})^2＝c^2＝c と分かる。
(3)：あとは、Cの加法部分群全体の、平面C上の、2次元の連結な加法部分群全体の場合は、平面Cに限られて、濃度は1。
従って、(1)〜(3)から、複素数体Cの「加法」部分群全体の集合の濃度は、2^{ℵ_0}つまりcになる。
大雑把過ぎるだろうが、上のように考えればいい。
54(1): １３２人目の素数さん [sage] 2015/10/16(金) 14:29:37.63 ID:q0g452AG(3/5) AAS
>>45
>>52の最後の
>実数体Rの濃度はcard(B)に等しいことから、card(U)＝card(R) といっている。
の部分の「実数体Rの濃度」は「実数体Rのベキ集合の濃度」の間違いな。
このことは、card(R^*)＝card(R)＝c なのだから、すぐ分かるな。
まあ、今度は18日の日曜に来るわ。
55: １３２人目の素数さん [sage] 2015/10/16(金) 14:41:50.26 ID:q0g452AG(4/5) AAS
>>45
あ〜、>>54の訂正については取り消しで、正しくは、>>52の最後の
>だから、最後は、card(U)＝2^c、card(B)＝2^c から card(U)＝card(B) が従い、実数体Rの濃度
>はcard(B)に等しいことから、card(U)＝card(R) といっている。
の部分は、
>だから、最後は、card(U)＝2^c、card(B)＝2^c から card(U)＝card(B) が従い、「実数体Rのベキ集合の濃度」
>はcard(B)に等しいことから、card(U)＝card(「Rのベキ集合」) といっている。
と訂正な。何れにしろ、card(R^*)＝card(R)＝c なのだから、すぐ分かるな。
まあ、今度は18日な。
56: １３２人目の素数さん [sage] 2015/10/16(金) 15:45:19.93 ID:q0g452AG(5/5) AAS
>>45
まあ、正確には「card(U)＝card(「Rのベキ集合」) 」は「card(「乗法群C^*の部分群全体」)＝card(「Rのベキ集合」) 」だな。
U⊂乗法群C^*の部分群全体⊂C^*のベキ集合A で、card(U)≦card(乗法群C^*の部分群全体)≦card(A) だから、
card(A)＝card(U)＝2^c から 2^c≦card(乗法群C^*の部分群全体)≦2^c で、ベルンシュタインの定理から
card(乗法群C^*の部分群全体)＝2^c が従うと。まあ、>>3では、暗にそういうことをいっている。日曜まで、そんじゃね。
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