現代数学の系譜11 ガロア理論を読む16 [転載禁止]©2ch.net

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61(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/17(土) 06:37:35.92 ID:ZRSuwEga(1/16) AAS
>>60
どうも。スレ主です。
ID:pAg1QvVKさん、ありがとう
おっちゃんが乱入してきて、無茶苦茶になりそうなので、日曜の前に決着させたいと
つい期日を勘違いしてしまいました
間違った証明が投下されても、お楽しみにはほど遠いので、期間短縮しましょう

で、ハメル基を使う方法でお願いします。
ハメル基がいまいち分かってないので勉強になります。楽しみです

証明を書いて頂いた後で、私なりの解答を書きます。
一つは、どちらの方法とも違う解答
もう一つは、「 C^*の部分群全体の集合は実数体のべき集合の濃度を持つ」に帰着させるんだが、簡単な方法を見つけたので、それを書きます

>今から謝罪の準備をしておくように

はい、挑戦受諾のお礼と、下記敗北宣言再アップと、ごめんなさいの謝罪を先にしておきますｍ（＿＿）ｍ

現代数学の系譜11 ガロア理論を読む15 [転載禁止](c)2ch.net
2chｽﾚ:math
653 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2015/10/11(日) 18:12:06.91 ID:RDXEzJ3O [2/10]
どうも。スレ主です。

ああ、勝負受けたのか！なら、おそらく君（ID:vh5z+a2B ）の勝ちだよ

62: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/17(土) 06:49:05.79 ID:ZRSuwEga(2/16) AAS
語原
http://gogen-allguide.com/ko/gomen.html
御免（ごめん） - 語源由来辞典:

【意味】ごめんとは、自分の失礼に対して許しを請うたり、謝罪の意思を表すときに言う言葉。他家を訪問した際の挨拶の言葉。拒絶の意を表す言葉。ご免。ゴメン。
【ごめんの語源・由来】
許す意味の「免」に尊敬の接頭語「御」がついた言葉で、鎌倉時代から見られる。
本来は、許す人を敬う言い方として用いられたが、室町前期には許しを求める言い方で、相手の寛容を望んだり自分の無礼を詫びる表現になっていった。
「ごめんあれ」「ごめん候へ」などの形で初めは使われていたが、「ごめんくだされ」や、その省略の「ごめん」が多く用いられるようになった。
ごめんなさいの「なさい」は、動詞「なさる」の命令形で、「御免なすって」の「なすって」と同じ用法である。
挨拶で用いる「ごめんください」は、許しを請う「御免させてください」の意味が挨拶として使われるようになったもの。
「それは御免だ」などの拒絶・断わりは、比較的新しい用法で江戸時代から見られる。

70(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/17(土) 19:26:36.66 ID:ZRSuwEga(3/16) AAS
>>58
どうも。スレ主です。

で、
564さんの>>7の問題「問題:複素数体の閉集合全体の集合の濃度を求めよ。
ただし複素数体にはユークリッド位相が入っているものとする。」を、私スレ主より先出しジャンケンできるかな？　やれるものならやってみろ。出来ないなら大口叩くなってことよ！
についてのおぬしの解答なないのか？

なら、私スレ主が時間つぶしに解答を書くか。
＜方針＞
１．複素数体のユークリッド位相だから、まず開集合として、開球を考える
２．複素数体のユークリッド位相だから、ハウスドルフがキーワード
３．開集合定義と、ドモルガンの定理から、開集合の補集合が閉集合だから、開集合と閉集合とは一対一対応がつく。つまり濃度は等しい

71(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/17(土) 19:36:47.17 ID:ZRSuwEga(4/16) AAS
>>65-69
ID:a5sAw5TA さん、どうも。スレ主です。
いやー、レベル高いね
本格的な証明ですな～
私らには、こういうのは書けない
完敗！　脱帽です！（＾＾；

73(8): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/17(土) 20:25:38.31 ID:ZRSuwEga(5/16) AAS
>>71 つづき

では、私から >>3「問題:複素数体Cの「加法」部分群全体の集合の濃度を求めよ。」を
”もう一つは、「 C^*の部分群全体の集合は実数体のべき集合の濃度を持つ」に帰着させるんだが、簡単な方法を見つけたので、それを書きます”>>

１．まず、実数体Rに対する有理数体Qからの超越基底Sによる体の拡大を考える
２．超越基底Sは、全て正に取ることができる。（∵もしs1∈Sで、s1＜0なら、-s1に基底を取り直すことで、正の超越基底Sに直すことができるから）
３．ここで、実数体Rで、0より大の実数（+Rと表す）の成す乗法群を考え、G(+R)と表す
４．有理数体Qの正の部分と超越基底Sとの組み合わせから成る群を考える。これをG(S,+Q)とする。明らかに、G(S,+Q)⊆G(+R)である
５．超越基底Sの任意の二つの部分集合S1,S2でS1≠S2を考える。一般性を失わずに、集合S2に含まれないs1'∈S1が存在するとできる。（∵もしs1'∈S2にそのような要素があればS1,S2の番号付けを変えれば良いから）
５．４と同じように、超越基底Sの部分集合S1,S2による正の乗法群を考える。明らかにG(S1,+Q)≠G(S2,+Q)である。（∵超越基底の定義から、s1'はG(S2,+Q)に含まれないから）
６．よって、0より大の実数（+Rと表す）の成す乗法群G(+R)の部分群の集合の濃度は、超越基底Sの部分集合からなる集合の濃度に等しい
７．超越基底Sは、連続無限の濃度を有する（証明略。>>3参照）から、その部分集合からなる集合の濃度は実数体のべき集合の濃度を持つ。
８．さて、0より大の実数（+Rと表す）の成す乗法群は、対数関数logによって、加法群に変換できる。
９．G(S1,+Q)≠G(S2,+Q)であれば、この二つの群を対数関数logによって、加法群に変換した群も異なる。（証明略。背理法によって証明できる。）
１０．従って、加法群から成る群の集合も実数体のべき集合の濃度を持つ。
１１．蛇足だが、複素数体Cは、実数体Rに虚数iを添加した体だから、加法としては単純で、R+Riの形になるから、複素数体Cの「加法」部分群全体の集合の濃度も同様である。

74(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/17(土) 20:28:52.35 ID:ZRSuwEga(6/16) AAS
>>73 訂正

（>>61が抜けていた)
”もう一つは、「 C^*の部分群全体の集合は実数体のべき集合の濃度を持つ」に帰着させるんだが、簡単な方法を見つけたので、それを書きます”>>
　↓
”もう一つは、「 C^*の部分群全体の集合は実数体のべき集合の濃度を持つ」に帰着させるんだが、簡単な方法を見つけたので、それを書きます”>>61

75: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/17(土) 20:35:52.17 ID:ZRSuwEga(7/16) AAS
>>72
どうも。スレ主です。
さすがのご指摘だが、多分「開かつ閉は無いことへの言及」は不要だと思うよ
ドモルガンの定理：開集合の補集合が閉集合
を認めてしまえば

そして、空集合と全体集合は、開かつ閉だよ
また、空集合と全体集合とは、互いに補集合の関係にある

77(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/17(土) 20:59:42.91 ID:ZRSuwEga(8/16) AAS
>>74 つづき

では、>>61"証明を書いて頂いた後で、私なりの解答を書きます。
一つは、どちらの方法とも違う解答"へ

おそらく、こちらが出題意図だと思う
ハメル基のかわりに、超越基底をそのまま使う方法

78(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/17(土) 21:24:01.65 ID:ZRSuwEga(9/16) AAS
>>77 つづき
で
１．まず、>>3の564さんの証明にならって、複素数体Cの有理数体Q上の超越基底Sをとる。このときSは非可算濃度を持つ。
２．あとは、>>73と類似
３．超越基底Sの任意の二つの部分集合S1,S2でS1≠S2を考える。一般性を失わずに、集合S2に含まれないs1'∈S1が存在するとできる。（∵もしs1'∈S2にそのような要素があればS1,S2の番号付けを変えれば良いから）
４．有理数体Qに対し、部分集合S1,S2による拡大体を考える。これをF(S1),F(S2)とする。明らかにF(S1)≠F(S2)である。（∵超越基底の定義から、s1'はF(S2)に含まれないから）
５．F(S1),F(S2)からゼロを除いた乗法群を考えると、明らかにこの二つの群は異なる。（∵超越基底の定義から、s1'はF(S2)から成る群に含まれないから）
６．これによって、”C^*の部分群全体の集合は実数体のべき集合の濃度を持つ”が従う。（証明略。>>3参照）
７．同様に、F(S1),F(S2)から加法群を考えると、明らかにこの二つの群は異なる。（∵超越基底の定義から、s1'はF(S2)から成る加法群に含まれないから）
８．６と同様に、複素数体Cの「加法」部分群全体の集合の濃度は、実数体のべき集合の濃度に等しい。

この証明は、一見「 C^*の部分群全体の集合は実数体のべき集合の濃度を持つ」に帰着させているように見えるかも知れない
が、本質は”超越基底Sの任意の二つの部分集合S1,S2でS1≠S2なら、F(S1)≠F(S2)”ってこと。これから、乗法群も加法群も異なることが導かれる
つまり、これ超越基底Sの本質（定義）そのもの

もっと言えば、超越基底Sを個別の要素として見るのではなく、超越基底Sを全体（集合）として見るってところが、ポイントだと思うんだ
まあ、おそらくこれが出題意図だろう（＾＾

79(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/17(土) 21:35:57.33 ID:ZRSuwEga(10/16) AAS
>>73 補足

”乗法群は、対数関数logによって、加法群に変換できる”ってところ
複素数の場合には、log(z)は、偏角2πiの不定性があるので、この処理が少々やっかい
多少手間をかければ、可能だが
ややこしいので、まず実数 log(x) | x >0 に限定した

81(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/17(土) 22:22:36.21 ID:ZRSuwEga(11/16) AAS
>>70 もどる

まず、基礎知識を準備
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E7%A9%BA%E9%96%93
ユークリッド空間
位相構造
ユークリッド空間は距離空間であるから、距離から誘導される自然な位相を持った位相空間でもある。En 上の距離位相は、ユークリッド位相あるいは通常の位相と呼ばれる。
すなわち、ユークリッド空間の部分集合が開集合であるための必要十分条件は、その部分集合に属する各点に対して、それを中心とする適当な大きさの開球体をその部分集合が必ず含むことである。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8F%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%83%89%E3%83%AB%E3%83%95%E7%A9%BA%E9%96%93
ハウスドルフ空間
ハウスドルフ空間（- くうかん、Hausdorff space）とは、異なる点がそれらの近傍によって分離できるような位相空間のことである。これは分離空間(separated space)またはT2 空間とも呼ばれる。
位相空間についてのさまざまな分離公理の中で、このハウスドルフ空間に関する条件はもっともよく仮定されるものの一つである。
ハウスドルフ空間においては点列（あるいはより一般に、フィルターやネット）の極限の一意性が成り立つ。位相空間の理論の創始者の一人であるフェリックス・ハウスドルフにちなんでこの名前がついている。
ハウスドルフによって与えられた位相空間の公理系にはこのハウスドルフ空間の公理も含まれていた。

例
実数の集合は、その上に通常定義される位相構造によってハウスドルフ空間になっている。
さらに、幾何学などで扱われる位相多様体や距離空間、あるいは解析学などで扱われるノルム空間やその上で弱位相を考えた空間など様々な空間がハウスドルフ空間になる。

一方で、代数学におけるザリスキ位相を考えた代数多様体や、可換環のスペクトルなどの位相空間はしばしばハウスドルフ空間にならない。
つづく

82(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/17(土) 22:25:11.95 ID:ZRSuwEga(12/16) AAS
>>81 つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%8B%E9%9B%86%E5%90%88
開集合（かいしゅうごう、英: open set）は、実数直線の開区間の考えを一般化した抽象的な概念である。
最も簡単な例は距離空間におけるものであり、開集合をその任意の点に対しそれを（元として）含む開球を（部分集合として）含むような集合（あるいは同じことだが境界点を全く含まないような集合）として定義できる。

性質
必ずしも有限個でない開集合の族の和集合はまた開集合である。
有限個の開集合の共通部分はまた開集合である。無限個の場合はその限りではない。
距離空間 (X, d) において x を中心とする半径 ε の開球体 B(x; ε) は開集合であり、任意の開集合 A はある x ∈ A を中心とする十分小さな半径 ε の球体 B(x; ε) を含む。
開集合の補集合は閉集合である。

83(5): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/17(土) 23:11:26.59 ID:ZRSuwEga(13/16) AAS
>>82 つづき

１．さて、>>78のように、超越基底Sの任意の二つの部分集合S1,S2でS1≠S2を考える。一般性を失わずに、集合S2に含まれないs1'∈S1が存在するとできる。（∵もしs1'∈S2にそのような要素があればS1,S2の番号付けを変えれば良いから）
２．複素平面が、ハウスドルフ空間であることを認めるものとする。
３．とすると、部分集合S2の各要素の周囲に十分小さな開球を取ることができ、s1'∈S1を含まないようにできる。
４．同様に、和集合S1∪S2の各要素の周囲に十分小さな開球を取ることができ、ハウスドルフ空間であるから、各開球は分離できる
５．よって、蛇足だが、結局S1,S2に対し、各要素の周囲に十分小さな開球を取ることで、S1に属する開球の集合とS2に属する開球の集合は、異なるように取れる
６．ユークリッド位相を仮定しているから、開球は開集合でもある
７．開集合の性質より、「必ずしも有限個でない開集合の族の和集合はまた開集合である」>>82から、S1及びS2に属する開球の集合（和集合）は開集合であり、この二つの開集合は異なる
８．よって、超越基底Sの任意の二つの部分集合S1,S2から、異なる二つの開集合を作ることができる
９．よって、開集合の濃度は、超越基底Sの部分集合からなる集合の濃度以上である。つまり、実数体のべき集合の濃度以上。（証明略。>>3参照）
１０．一方、任意の開集合は、複素平面に含まれる。つまり、複素数体の部分集合でもある。だから、開集合の濃度は、複素数体の部分集合から成る集合の濃度以下。つまり、実数体のべき集合の濃度以下（この証明略）。
１１．９及び１０より、開集合の濃度は、実数体のべき集合の濃度に等しい。
１２．閉集合を、開集合の補集合とする。開集合と閉集合とは一対一対応がつく。つまり濃度は等しい。

（３～５は、ハウスドルフ空間であることを認めた時点で自明で、もっと簡潔な記述が可能と思うが、かみ砕いて書いた。）

84(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/17(土) 23:18:03.59 ID:ZRSuwEga(14/16) AAS
>>83 補足

１３．従って、複素数体の閉集合全体の集合の濃度は、実数体のべき集合の濃度に等しい。

追伸
１３（つまり結論）を書いておかないと、試験答案なら減点される可能性ありだろう。自明だが省略はしない方が良い

”複素数体の部分集合から成る集合の濃度以下。つまり、実数体のべき集合の濃度以下（この証明略）。”も、証明略でなく、簡単な理由付けを書きたいところだが、浮かばなかった（＾＾

85: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/17(土) 23:46:24.51 ID:ZRSuwEga(15/16) AAS
>>73 補足

”実数体Rに対する有理数体Qからの超越基底Sによる体の拡大を考える”のところ
超越基底Sは、連続無限の濃度を有するの証明は、>>66-68の証明を見ると、アナロジーとして

実数体Rを有理数体Q上のベクトル空間と見たときの基底を1つとってHとする(ハメル基底)。
↓
実数体Rを、有理数体Q上の代数拡大体Ａのベクトル空間と見たときの超越基底を1つとってＳとする(超越基底)

が、本当かもね
代数拡大体Ａなら、超越基底による拡大体がＲになるけど
有理数体Q上の超越基底による拡大体には、代数的数は含まれないから
まあ、「超越基底Sは、連続無限の濃度を有する」を基礎論として認めてしまえば、有理数体Qで考えても同じだが

86(9): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/17(土) 23:56:29.81 ID:ZRSuwEga(16/16) AAS
>>53
で、結局、おっちゃんの結論
「複素数体Cの「加法」部分群全体の集合の濃度は、2^{ℵ_0}つまりcになる。」が、違っていると思うんだ
理由は、
>>73の”乗法群は、対数関数logによって、加法群に変換できる”とか
>>78"本質は”超越基底Sの任意の二つの部分集合S1,S2でS1≠S2なら、F(S1)≠F(S2)”ってこと。これから、乗法群も加法群も異なることが導かれる"とか
これを見て、ご納得頂ければ幸いです（＾＾

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