[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む16 [転載禁止]©2ch.net (683ﾚｽ)
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87: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/18(日) 00:07:50.80 ID:AbOcHf9K(1/9) AAS
>>76＆>>63
どうも。スレ主です。
ID:wNioddJ2 くんか
>>58を見てくれたか？
>>70は、ID:wNioddJ2 くんを叩くつもりで書いた。サンドバッグ。>>81-84のパンチはどうかね？
564さんの>>7の問題「問題:複素数体の閉集合全体の集合の濃度を求めよ。
ただし複素数体にはユークリッド位相が入っているものとする。」を、私スレ主より先出しジャンケンできるかな？ やれるものならやってみろ。出来ないなら大口叩くなってことよ>>58って
88: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/18(日) 00:12:08.06 ID:AbOcHf9K(2/9) AAS
>>80
誤爆？ 本気？
>ガロア理論が存在する必然性は何か？
>それと同等の機能を果たし得るパターン、機能、構造が存在するのかな。
その答えは圏論にありと思うんだ
禅問答だが（＾＾；
では
90(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/18(日) 08:07:27.42 ID:AbOcHf9K(3/9) AAS
>>89
564さん、どうも。スレ主です。
>3から5の議論がおかしいです。
>ハウスドルフ性からそのようなことは従いません。
>ハウスドルフ性は「有限個の」点を開近傍で分離できるというものですので。
君はいつも鋭いね。レベル高い。おそらく私よりも
が、（３〜５は、ハウスドルフ空間であることを認めた時点で自明で、もっと簡潔な記述が可能と思うが、かみ砕いて書いた。）>>83
と注釈を付けたろう？
>>81に引用したように、「実数の集合は、その上に通常定義される位相構造によってハウスドルフ空間になっている」
というより、実数の集合の性質から、ハウスドルフという性質が抽出され抽象化されたんだ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%82%99%E6%80%A7
実数の完備性: 実数の完備性は実数を公理的に定義する際に必要とされる性質の一つ。この場合の完備性は、実数全体の成す集合 R を距離空間と見た場合の完備性、あるいは R を半順序集合と見た場合の完備性の何れの意味とも取ることができる。
つづく
91(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/18(日) 08:25:43.32 ID:AbOcHf9K(4/9) AAS
>>90 つづき
実数の集合の性質から抽出された、ハウスドルフという性質（下記）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8F%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%83%89%E3%83%AB%E3%83%95%E7%A9%BA%E9%96%93
ハウスドルフ空間
定義
相異なる2点を分離するそれぞれの開近傍
Xを位相空間とする。X上の任意の相違なる2点 x, y に対して、U ∩ V = O であるような x の開近傍 U および y の開近傍 V が必ず存在するとき、Xはハウスドルフ空間であるといわれる。
（引用おわり）
これは、”任意の相違なる2点”なのだ
だから、もちろん「有限個の」点を開近傍で分離できる
しかし、例え無限個の点の集合であっても、それら無限個の点の集合が、分離的であれば、ハウスドルフの性質は使える
ここらは、基礎論的かつ厳密には、選択公理と超限帰納法を使うのだろうが
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E5%B8%B0%E7%B4%8D%E6%B3%95#.E8.B6.85.E9.99.90.E5.B8.B0.E7.B4.8D.E6.B3.95
超限帰納法
上記の形で自然数について定式化された数学的帰納法は、任意の整列集合に対して次のように一般化することができる。
この一般化を超限帰納法 (ちょうげんきのうほう、英: transfinite induction)という。任意濃度の集合は選択公理と同値な整列可能定理により整列順序を持つとすることができるので、選択公理を含む公理系であれば超限帰納法は任意濃度の集合に対して成立すると主張できる。
つづく
92(13): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/18(日) 09:12:37.75 ID:AbOcHf9K(5/9) AAS
>>91 つづき
ここらを、基礎論的かつ厳密に証明するのは、スレ主の能力を超えている
なので、問題を実数にして簡単化しよう
>>70より
問題「問題:複素数体の閉集合全体の集合の濃度を求めよ。
ただし複素数体にはユークリッド位相が入っているものとする。」
↓
簡易化
問題「問題:実数体Rによる数直線上の閉集合全体の集合の濃度を求めよ。
ただし実数体Rにはユークリッド位相が入っているものとする。」
で、>>83と同様の議論を行うものとする。重複する部分は省略する
（選択公理と超限帰納法を認める）
１．実数体R内の有理数体Qに対する超越基底Sが存在する（証明略）
２．超越基底Sの任意の二つの部分集合S1,S2でS1≠S2を考える。
３．和集合S1∪S2の各要素を、数直線上に並べることができる。（選択公理より）
４．並べた要素で、任意の隣接する３点を考える。s1<s2<s3とする。
５．超越基底の性質から、s1<s2<s3の間に有理数r1,r2を取って、s1<r1<s2<r2<s3とすることができる
６．普通の距離を考えて、d ＜ min(s2-r1,r2-s2) (minは、最小値を取る関数)として、s2から、間の有理数r1,r2を含まない半径dの開球を設定できる
７．同じことを、全ての隣接する和集合S1∪S2の各要素について行い、各間にある有理数r1,r2を含まない半径dの開球を設定できる（記述が厳密でないがご容赦）
８．選択公理と超限帰納法を認めるならば、和集合S1∪S2が無限集合であっても、１〜７は成り立つ。
（注：これはハウスドルフというより、実数の定義と完備性から従う>>90）
よって、>>83の議論は、実数体Rによる数直線上の閉集合全体の集合の濃度に対して、同様に成り立つ
但し、３〜５に対する注釈を再度強調しておく（ここは結構いい加減だという自覚はあります（＾＾； ）
では、上記を、元の問題の複素数体にバージョンアップするにはどうするか？
いろいろ考えられるが、>>73に書いたように、「複素数体Cは、実数体Rに虚数iを添加した体だから、加法としては単純で、R+Riの形になる」としてうまく処理するのかね？
簡易化版を補題として、使えそうに思うが・・・
直感的には自明なんだが、数学の答案としてどうまとめるか。すぐ浮かばないので、スルーします（＾＾；
93: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/18(日) 09:17:04.58 ID:AbOcHf9K(6/9) AAS
>>92 つづき
おそらく、多くの方はお気づきだと思うが
「超越基底の性質から、s1<s2<s3の間に有理数r1,r2を取って、s1<r1<s2<r2<s3とすることができる」は、数学的には冗長なんだ
でも、初心者向けテキストとしてはありだろう
以上です
では（＾＾；
94: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/18(日) 09:22:21.92 ID:AbOcHf9K(7/9) AAS
>>84 補足
>”複素数体の部分集合から成る集合の濃度以下。つまり、実数体のべき集合の濃度以下（この証明略 ）。”も、証明略でなく、簡単な理由付けを書きたいところだが、浮かばなかった（＾＾
いま思うと、>>73に書いた「複素数体Cは、実数体Rに虚数iを添加した体で、R+Riの形になるから」くらい書いておけば良いかも
106(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/18(日) 20:29:37.62 ID:AbOcHf9K(8/9) AAS
>>95
564さん、どうも。スレ主です。
君は本当にレベル高いね
すぐ反例を思いつくんだ
その反例には納得だ
とすると、別の筋を使うしかないね
>>96
ID:9oIIz4Cl くんか。君は、レベルが高そうに見えない。そのレベルで、このスレ主に刃向かうつもりなのか？
その意気やよし！ 挑戦を受けよう！ （＾＾；
では、君が>>92記載の564さんの出題そのものか、あるいは簡易化版でも良いから、解答を書いてみなさい。
期日は、来週金曜までだ
私は、金曜以降に自分の解答を書こう
私スレ主より先に正解すれば、君の勝ち
遅ければ、君の負け（＾＾；
私には、ある解答の筋が浮かんだ
君は、よほど頑張らないと勝てないだろうね（＾＾；
107(5): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/18(日) 20:39:39.50 ID:AbOcHf9K(9/9) AAS
>>97-104
おっちゃん、どうも。スレ主です。
８連投ありがとうございます
まあ、しかし、こんな２ちゃんねるの制約のある板で
まともに証明を書こうという根性がすごいね
私ら、>>78みたくだらだら、文章で書き流してしまった
手書きだと逆で、きっと数学記号を多用する
が、多くの数学記号がキーボードから入力しにくい
だから、つい書きやすい文章にして、書き流してしまうんだ
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