[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む16 [転載禁止]©2ch.net (683ﾚｽ)
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238(2): １３２人目の素数さん [sage] 2015/11/01(日) 09:36:41.38 ID:9EkZMtUp(1/9) AAS
>>230
>>219の
>でも、答えを知った
>そして、それは、知っている人には常識のことなんだよ
直観の根拠や拠り所にしているのって、まさか平面を被覆するヒルベルトの曲線か？
これは、しっかりと答えるように。直観の拠り所があるなら、是か非か位は答えられるだろう。
あと、もし超越基底Sが零集合だったら、当然Sには超越数が含まれている。
仮に>>201の３のようなことをしたとしよう。Sは上や下に有界か
どうかも分からんし、ジョルダン可測かどうかも分からんぞ。
仮にジョルダン可測ではなかったとする。そうしたら、直線Rは
非可算な可測集合で、Sは非可算な零集合だから、Sに属する
超越数を直線Rに並べてR上でのジョルダン測度を考えたとき、
結果が異なって来る。だから、３のような操作が見事に結果に影響するぞ。
239(1): １３２人目の素数さん [sage] 2015/11/01(日) 09:41:46.89 ID:9EkZMtUp(2/9) AAS
>>209の下のCase1の直前の
>そして、ベキ集合B(R)の定義から、Y⊂X である。
の部分の「B(R)」は「B(X)」の間違い。
244(1): １３２人目の素数さん [sage] 2015/11/01(日) 11:20:21.22 ID:9EkZMtUp(3/9) AAS
>>240
>>92の
>２．超越基底Sの任意の二つの部分集合S1,S2でS1≠S2を考える。
>３．和集合S1∪S2の各要素を、数直線上に並べることができる。（選択公理より）
についても>>238の後半と同様なことがいえる。ちなみに、
超限帰納法や選択公理等の集合論による解答は当然あっていい。
その解答の方が一般的な議論になる。
ヒルベルトの曲線は、両端を固定して構成していく、正方形内の図形だろう。
範囲が複素平面Cだと、両端を固定することが出来なくなるから、
C内ではヒルベルトの曲線のような図形があるという保証はない。
246(1): １３２人目の素数さん [sage] 2015/11/01(日) 11:39:44.43 ID:9EkZMtUp(4/9) AAS
>>240
まあ、位相の問題なのだから、超越基底とかより、集合論がずっと身近になるな。
集合論の手法の方が信憑性は高くなるだろう。通常の感覚ではそうなる。
253(1): １３２人目の素数さん [sage] 2015/11/01(日) 13:08:17.00 ID:9EkZMtUp(5/9) AAS
>>249
その集合論で考えた文章が昨日の書き込みで、その結果が2^cになる。
スレ主が考えているイメージのこと(ε近傍を重ならないように配置云々)は、
私にとっても直観的には正しい。というか、直観的には明らかである。
しかし、スレ主は証明のどこにも平面C上の閉集合がただ1点からなる集合に限る
ことを書いていない。そのため、この結果は使えないということになる。
むしろスレ主が書くべきことは、平面C上の閉集合がただ1点からなる集合に限る
ことの方である。しかし、空集合Φも閉集合にあたるので、このことの証明は書けないだろう。
254(1): １３２人目の素数さん [sage] 2015/11/01(日) 13:24:02.23 ID:9EkZMtUp(6/9) AAS
>>249
>>253の平面Cは、直線Rに置き換えて読んでもいい。何れにしろ、見る限りでは、
直線R上の閉集合がただ1点からなる集合に限ることの証明は書いていないな。
なので、根本的な部分の解決はしていないことになる。
255: １３２人目の素数さん [sage] 2015/11/01(日) 14:29:09.65 ID:9EkZMtUp(7/9) AAS
>>214の
>任意のx∈Xに対して、x∈Eのとき (f_E)(x)＝1、x∈R＼Eのとき (f_E)(x)＝0。
の「R＼E」は「X＼E」に訂正。
256(1): １３２人目の素数さん [sage] 2015/11/01(日) 16:08:51.53 ID:9EkZMtUp(8/9) AAS
>>173
>>213は次のように訂正。間違いがあった。
[第４段]：包含関係に関するIの極大元XについてB(X)⊂Aなることを示す。
Iに属する、包含関係に関する、任意の全順序部分集合の上界xのベキ集合B(x)についてB(x)⊂Aなることを示す。
Iに属する、包含関係に関する、任意の全順序部分集合の上界xの全体をZとする。すると、Z≠Φ。
集合x∈Zを任意に取る。元xのベキ集合をB(x)とする。すると、card(B(x))≧2 から、card(x)≧1。また、
x∈Iから 2≦card(B(x))＜ℵ_0 だからcard(x)は有限な非負整数である。よって、r＝card(x) とおくと、0≦r＜ℵ_0となる。
(0)、r＝0のとき。このとき、card(x)＝0 から、x＝Φ。また、A⊂A。空集合Φの閉包はAに等しいから、
xの閉包はAに等しい。従って、閉集合の集合Aの定義から、x∈A。
(1)、r＝1のとき。このとき、card(x)＝1 だから、集合xに対して或るただ1点y∈Rが存在して、x＝{y}となる。
従って、x⊂Rとなる。xは直線R上のただ1点yからなる集合だから、xの閉包はxに等しい。
xは直線Rの閉集合だから、閉集合の集合Aの定義から、x∈A。
(2)、2≦r＜ℵ_0 のとき。このとき、rは2以上の自然数だから、xに対して何れも或る y_1,…,y_r∈R が
存在して、x＝{y_1,…,y_r} となる。従って、x＝∪_{i＝1,…,r}({y_i})。ここで、i＝1,…,rを任意に取る。
すると、y_i∈Rから{y_i}⊂R。{y_i}は直線R上のただ1点y_iからなる集合だから、{y_i}の閉包は
{y_i}自身に等しい。{y_i}は直線Rの閉集合だから、Aの定義から、{y_i}∈A。1≦i≦rなる自然数iは
任意だから、自然数iを条件1≦i≦rの下で走らせると、直線R上の有限個の閉集合{y_1},…,{y_r}の
和集合xは直線Rの閉集合である。従って、x∈A。
(0)、(1)、(2)から、必ずx∈Aである。Zに属する集合xは任意だから、xをZにおいて走らせると、Z⊂Aを得る。
包含関係に関するIの極大元Xについて、任意のx∈Zに対して x⊂X から x∈B(X) だから Z⊂B(X)。
ここで、X⊂R。また、Rは閉集合だから、Aの定義からR∈A。従って、Zに属する、包含関係に関する、Iにおける、
各全順序部分集合の上界に対して選択公理を適用すると、B(X)⊂A を得る。
257: １３２人目の素数さん [sage] 2015/11/01(日) 16:30:07.59 ID:9EkZMtUp(9/9) AAS
>>173
>>256の1番下の
>従って、Zに属する、包含関係に関する、Iにおける、
>各全順序部分集合の上界に対して選択公理を適用すると、B(X)⊂A を得る。
は、
>従って、X∈Aから B(X)⊂A である。そして、Zに属する、包含関係に関する、
>Iにおける、 各全順序部分集合の上界に対して選択公理を適用すると、
>B(X)⊂A を得る。
に訂正。というか、Iの定義とB(R)の定義を見ると>>256の[第４段]は
>Xは包含関係に関するIの極大元だから、Iの定義とB(R)の定義から、X⊂R。
>また、Rは閉集合だから、Aの定義からR∈A。従って、X∈Aから B(X)⊂A である。
で終わっているな。選択公理とかは必要なさそうだ。まあ、昨日は[第３段]で疲れたしな。
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