[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む16 [転載禁止]©2ch.net (683ﾚｽ)
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7(25): 564 [sage] 2015/10/11(日) 21:06:49.09 ID:7jDSbCoQ(1) AAS
>>6
617の問題は簡単過ぎましたか？
でもちゃんとした証明を書くのはスレ主さんの良い勉強になるはずです。
似たような問題でもう少し難しいものを出しておきます。
問題:複素数体の閉集合全体の集合の濃度を求めよ。
ただし複素数体にはユークリッド位相が入っているものとする。
11(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/12(月) 06:53:52.46 ID:bHE7evZI(2/30) AAS
>>8
どうも。スレ主です。
スマホからかね？
あんまりへんなクセ付けない方が数学では良いとおもうけどね
インフォーマルな仲間での話は別として、学生時代の数学では、省略はおうおう減点対象になるよ
で>>7に対する回答なんだろうが
～だからの部分の主語がない
後半も主語がない
試験の答案なら大減点だろう
かつ、答えが間違っていると思うよ
12(6): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/12(月) 07:41:37.01 ID:bHE7evZI(3/30) AAS
>>7
どうも。スレ主です。
このスレの趣旨をご理解頂きありがとう
まあ、スレ主の勉強のためのスレではあるけれども、一方みなさまのためのスレでもなければならない
だから、みなさんにも楽しんで貰うことも重要なのだ
もちろん、全ての人を満足することは難しいとしても、多くの人に楽しんで貰うを目指したい
ところで、気がついて頂いたようだが、前スレで引用した角皆 宏 （ツノガイ ヒロシ）先生のPDFは解答の参考になると。それを見れば私がほぼ理解していると・・
もちろん、理解と証明を書くこととは別だ。とくに試験場ではね。が、まあ自宅で時間をかければ、理解がすすめば大概は
また、617の問題（>>3に引用）は、564の解答（>>3に引用）があれば、簡単でしょうよ。564の解答が無ければ、別だが
ところで、新主題に対して、過去スレで引用した下記がある
名無しさんになっているが、私だ。
このPDFが、問題>>7の参考になるだろう
2chｽﾚ:math
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13
78 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2015/04/11(土) 23:10:01.30 ID:pLE9DoNh
http://www.juen.ac.jp/math/nakagawa/basicmath.pdf
数学基礎演習 – 集合と位相 – 2014 年度後期 中川仁（なかがわじん）上越教育大学
命題1.23. X, Y がともに可算集合ならば，直積集合X Y も可算集合である．
例1.18 と命題1.23 より，Z^2 は可算集合である．帰納的にZ^n は可算集合である．
命題1.24 と命題1.23 より，Q^2 は可算集合である．帰納的に，Q^n は可算集合である．
13(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/12(月) 07:56:55.88 ID:bHE7evZI(4/30) AAS
>>12 つづき
訂正：新主題→新出題
ところで>>7に戻るが「問題:複素数体の閉集合全体の集合の濃度を求めよ。
ただし複素数体にはユークリッド位相が入っているものとする。」
は、「問題:複素数体にはユークリッド位相が入っているものとする。
複素数体の閉集合全体の集合の濃度を求めよ。」の方が流れが良いだろう
いわずもがなだが、閉集合は定義次第。先にユークリッド位相を宣言すべき。”但し・・”と後付けで書く流儀もあるが、それは”但し・・”の部分が軽いとき（例えばほぼ自明だが念のためとか）
この場合も閉集合は自明に近いが、先の方が流れが良いと思った
ところで、私スレ主が位相に弱いと思っての心遣いと思うが、今後はご無用に
位相に弱いは当たっているし、これはこれで良いが、このスレは単純に問題と解答というスレではないと
位相の勉強を、問題ー解答だけでやっているときりながないだろ？
出題に戻ると、「第一感、簡単じゃないか」と思ったが、結構難しかった。解けたけどね。が、解答を書くと、>>3の解答のネタばらしになるから後で
14(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/12(月) 08:29:45.82 ID:bHE7evZI(5/30) AAS
>>13 つづき
>>7の問題もちょっと考えさせる問題ではあるね。こういう形で、閉集合の濃度を聞いた問題は初見だから、新作かな？
まあ、閉集合の定義（下記）などを見ると、直感的には簡単そうだが、細かい議論では、落とし穴があるね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93
位相空間
閉集合の補集合は開集合であり、開集合を定める三つの公理にド・モルガンの法則を適用することにより、閉集合の満たすべき性質が定まるが、逆にそれを閉集合の公理として開集合を定め、位相を決定することもできる。すなわち、X の部分集合族 σ が
１．空集合 φ および全体集合 X は σ に属す。
２．σ に属する集合の有限個の合併はふたたび σ に属す。
３．σ に属する集合の任意個（無限濃度をも許す）の交叉はふたたび σ に属す。
を満たすならば、X に σ の元を閉集合とする位相が定まるといい、σ を位相空間 (X, σ) の閉集合系と呼ぶ。
この開集合系による定義と閉集合系による定義は自然同値である
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E3%81%AE%E7%89%B9%E5%BE%B4%E4%BB%98%E3%81%91
位相の特徴付け
数学において位相空間の位相は開集合系として定義することが多いが、
それと同値な位相の特徴付けがいくつも知られており、それらは同じ位相空間の圏を定める。どの定義からも位相的概念に対する新たな見方が提供され、多くの位相的概念について更なる事実や一般化の方向性が導き出される。
18: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/12(月) 09:38:48.04 ID:bHE7evZI(6/30) AAS
>>14 つづき
>でもちゃんとした証明を書くのはスレ主さんの良い勉強になるはずです。>>7
数学屋さんらしいね。が
カントールの集合論で、どこまで戻るか。
まあ、下記濃度の例などは認めないと、２ちゃんねるなんかには書ききれないだろう（＾＾
そもそも、２ちゃんねるなんかで、正面から「証明！」というのが、場違いな気がする（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E4%BD%93%E6%BF%83%E5%BA%A6
連続体濃度
連続体濃度をもつ集合 例略
連続体濃度よりも大きな濃度 例略
58(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/16(金) 22:27:36.47 ID:gHCHyb0v(1/2) AAS
どうも。スレ主です。
おっちゃん、564さん、乙です
ところで、「後出しジャンケン乙」と宣うID:F9Nd69n1くんに問う
564さんの>>7の問題「問題:複素数体の閉集合全体の集合の濃度を求めよ。
ただし複素数体にはユークリッド位相が入っているものとする。」を、私スレ主より先出しジャンケンできるかな？ やれるものならやってみろ。出来ないなら大口叩くなってことよ
70(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/17(土) 19:26:36.66 ID:ZRSuwEga(3/16) AAS
>>58
どうも。スレ主です。
で、
564さんの>>7の問題「問題:複素数体の閉集合全体の集合の濃度を求めよ。
ただし複素数体にはユークリッド位相が入っているものとする。」を、私スレ主より先出しジャンケンできるかな？ やれるものならやってみろ。出来ないなら大口叩くなってことよ！
についてのおぬしの解答なないのか？
なら、私スレ主が時間つぶしに解答を書くか。
＜方針＞
１．複素数体のユークリッド位相だから、まず開集合として、開球を考える
２．複素数体のユークリッド位相だから、ハウスドルフがキーワード
３．開集合定義と、ドモルガンの定理から、開集合の補集合が閉集合だから、開集合と閉集合とは一対一対応がつく。つまり濃度は等しい
87: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/18(日) 00:07:50.80 ID:AbOcHf9K(1/9) AAS
>>76＆>>63
どうも。スレ主です。
ID:wNioddJ2 くんか
>>58を見てくれたか？
>>70は、ID:wNioddJ2 くんを叩くつもりで書いた。サンドバッグ。>>81-84のパンチはどうかね？
564さんの>>7の問題「問題:複素数体の閉集合全体の集合の濃度を求めよ。
ただし複素数体にはユークリッド位相が入っているものとする。」を、私スレ主より先出しジャンケンできるかな？ やれるものならやってみろ。出来ないなら大口叩くなってことよ>>58って
202(9): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/31(土) 10:09:52.70 ID:e+POqdBI(8/27) AAS
>>201
元の問題>>7
”似たような問題でもう少し難しいものを出しておきます。
問題:複素数体の閉集合全体の集合の濃度を求めよ。
ただし複素数体にはユークリッド位相が入っているものとする。”だった。
出題者の564さんには、>>173の背理法が正しいことは、一番分かっているはずだ
では私からの出題
>>201を背理法（>>173）によらず、証明することができるか？
私スレ主は、一応証明らしきことは考えたよ・・（＾＾；
240(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/11/01(日) 10:03:42.25 ID:KxTJyOv3(3/31) AAS
>>238-239
おっちゃん、どうも。スレ主です。
おっちゃん、博識やねー（＾＾
ヒルベルトの曲線は、ペアノ曲線かもしれないけど
おっちゃん、”半径εのε近傍Uε(s)”を見落としているよ。これは重要キーワードだ
あと、話が長くなるので、つっこんで書いておくよ
前にも書いたけど、>>92の後半の証明部分はミスリード。ここに入ると、訳分からなくなるよ
それより読み返すと、元の問題>>7の直後の>>8が正解に近い。結論は間違っている（>>11）が。
そのときは気付かなかったが、知ったあとで読み直すとそういうこと（＾＾；
270: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/11/01(日) 20:24:34.68 ID:KxTJyOv3(25/31) AAS
どうも。スレ主です。
レスありがとう
位相の宿題を出す人>>7が出たんだよ（＾＾
いや、勉強になりました
275: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/11/01(日) 21:33:30.34 ID:KxTJyOv3(30/31) AAS
>>240 補足
>それより読み返すと、元の問題>>7の直後の>>8が正解に近い。結論は間違っている（>>11）が。
>>8より引用
有理点を中心とし有理数を半径とする円板の
可算個の和集合の可算減少列の極限として
表せる部分集合の全体の（無限）部分集合だから
可算濃度
（引用おわり）
これ、かなり正解に近い
可算公理あるいは可算基底というキーワードを使って、最後を、可算濃度→連続濃度（非加算）
としていれば、正解を貰えたろう（＾＾；
277(1): １３２人目の素数さん [sage] 2015/11/02(月) 02:40:45.66 ID:z9zAyjiR(1/14) AAS
>>260
何か私が考えたり書いたりしたことは、予想が真逆で結果的には無意味だったようだな。>>7には
>似たような問題でもう少し難しいものを出しておきます。
とあったから、似た類の問題と捉え、超越基底の手法が通用しないから最初集合論だと思ったんだが。
位相の問題だったのか。>>266を見ると有名な問題のようだから、お久しぶりに現代数学概説Ⅰ、Ⅱの
位相の部分を見たが、その類の問題に関する定理とかは載っていない。
どうやらはじめて知ったことのようだ。
278(1): １３２人目の素数さん [sage] 2015/11/02(月) 02:46:36.42 ID:z9zAyjiR(2/14) AAS
>>260
どうやら、知名度といい、昔の本に載ってないあたりからすると、
>>7は完全な院試対策のような問題だったんじゃないか。なんだよ。
280(1): １３２人目の素数さん [sage] 2015/11/02(月) 03:49:17.67 ID:z9zAyjiR(4/14) AAS
>>260
位相空間が第2可算公理を満たせば可分であることとかも多分載っている。
何れにしろ、>>7の問題に関することは、明示されては載っていない。
>>7は、完全な院試対策みたいな問題だ。
281(2): １３２人目の素数さん [sage] 2015/11/02(月) 07:48:13.15 ID:OhjoiJ06(1/3) AAS
誤答おじさんって本当にクソだな
＞どうやら、知名度といい、昔の本に載ってないあたりからすると、
＞>>7は完全な院試対策のような問題だったんじゃないか。なんだよ。
「なんだよ」ってなんだよ。なにが不満なんだよ
勝手に問題の性質を邪推しておいて、アテが外れたら「院試対策」かよ
てめーがバカなだけだろｗ
みっともない奴だな
濃度が card(2^R) でないことはスレ主が散々言ってたことだし、スレ主からのヒントも出ていた
それを全て無視して的外れなクソ長文を撒き散らして、最後の最後まで
全く解答にカスリもしなかったクソザコが何いってるんだ
だいたいてめーは「院試対策」でない普通の問題ですらまともに解けたためしがないだろうが
＞(1)の結果を使っていいなら、それだけ書けば、それで済むとしかいいようがない。
そうだよ、この問題の本質は(1)であり、この問題はほとんど(1)そのものなんだ
となれば、この問題は事実上は「数学書に載っている」ことになる
院試どうこうの問題じゃなくて、単にお前が(1)の使い道に気づかなかっただけの話
お前がバカだっただけの話
なんなら(1)を懇切丁寧に証明したっていいんだぞ？
なぜなら、そもそもお前のクソ長文スタイルは全く1行で終わってないからだｗ
言い訳にもならんわ
＞何れにしろ、>>7の問題に関することは、明示されては載っていない。
「数学書に明示されてない問題はクソ問題だから俺は悪くない」とでも言いたいのか？
てめーがクソなだけだろｗ
毎度毎度みっともない言い訳はやめろ
お前の悪いクセだ
284(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/11/02(月) 09:31:49.63 ID:Ra+GZ3GJ(2/14) AAS
>>277-281
どうも。スレ主です。
可算公理あるいは、可算基底というキーワードで、この問題の本質は終わっている
だから、キーワードを書いてしまったら、面白くもなんともない問題なんだ
>>7は、閉集合という言葉で、位相を思いつかないように隠蔽してあるんだ
まあ、すぐに開集合を使う方針を採用したが
流れから、超越基底Sを使えばできるように思ったんだよね。それが失敗だと気付くのに何日か掛かった
いま思っても、可算公理あるいは、可算基底というキーワードは、自力では無理だわ（＾＾；
時代の天才たちが、何人も何年も心血を注いで構築したトポロジーの基礎。そんなものを、自分が数年考えたところで到達できるはずもなく・・・
もちろん、検索しました。が、検索は、いかに、適切なキーワードを選ぶかだ。それが数学的センスでもあるんだ
Yahoo!知恵袋 >>>266 は、方針を切り替えたら、結構早くヒットした。
その前は、”「1 点からなる集合{p} は閉集合である」として、これら無限を含む任意の組み合わせが、閉集合であることが言えれば、連続のべきの濃度が言える”>>273という方針を立てていたときもあったけど
”(1)Ｒ^Nの位相Ｏには、可算基底Ｕがある。”というコンセプトに気付くか（調べることも含め）が、キーなんだ。気付かなければ解けないと思う（＾＾；
285(2): １３２人目の素数さん [sage] 2015/11/02(月) 09:35:51.32 ID:z9zAyjiR(5/14) AAS
>>281
>＞どうやら、知名度といい、昔の本に載ってないあたりからすると、
>＞>>7は完全な院試対策のような問題だったんじゃないか。なんだよ。
>「なんだよ」ってなんだよ。なにが不満なんだよ
直観的に明らかなことを考えるだけだった、となると虚しくなるだろ。
>濃度が card(2^R) でないことはスレ主が散々言ってたことだし、スレ主からのヒントも出ていた
>それを全て無視して的外れなクソ長文を撒き散らして、最後の最後まで
>全く解答にカスリもしなかったクソザコが何いってるんだ
経験上、スレ主の主張は、信用しないことにしていた。
経験上、スレ主の主張の方を嘘っぱちだと思うことにしていた。
>なんなら(1)を懇切丁寧に証明したっていいんだぞ？
そのうち書いてあげますよ。
286(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/11/02(月) 09:44:58.44 ID:Ra+GZ3GJ(3/14) AAS
>>284 つづき
この問題>>7は、収穫があった
新作問題が四つできた。>>173と>>202と>>250-252と>>259と
新作問題が出来たのは、おっちゃんの貢献のお陰です。ｍ（＿ ＿）ｍ ありがとう！
287(3): １３２人目の素数さん [sage] 2015/11/02(月) 09:52:18.45 ID:z9zAyjiR(6/14) AAS
>>284
>>7みたいな、直観的に明らかで虚しくなるような問題を人にやらすなw
あと、イメージとしては、正確には、或る点x∈Cを含むε近傍ではなく、
xを含むコンパクトな領域や或いはコンパクトな領域とその境界との和からなる
図形Dと、そのDの補集合とかを考えるのが正しいイメージなのだ。
288(1): １３２人目の素数さん [sage] 2015/11/02(月) 09:55:44.48 ID:z9zAyjiR(7/14) AAS
>>284
>>287のDのような図形からなる単調増加列を構成して
考えていくと、>>7はイメージとして自然に溶けるな。
293(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/11/02(月) 11:51:13.58 ID:Ra+GZ3GJ(6/14) AAS
>>285-287
おっちゃん、どうも。スレ主です。
>経験上、スレ主の主張の方を嘘っぱちだと思うことにしていた。
おっちゃんの参戦で、多大の恩恵を受けている当方としては、何も文句を言える筋合いではないですが・・（＾＾；
">>7みたいな、直観的に明らかで虚しくなるような問題を人にやらすなw"
これ、実に良いこと、かつ大事なことを言った！（＾＾；
すぐ前に、真逆の直観を言っていた・・
例えば、>>112 >>182 あるいは>>218「そういうのが直観に反するってことなんだろ。
上からどころか下からもcard(B)をcard(B)≧2^cと評価出来るんだから、
あり得るのはcard(A)＝2^cだけ。」
しかし、可算公理あるいは、可算基底というキーワードを通してこの問題を見れば、直観的に見える風景が変わっているはずだ
これは、私が>>163で言いたいことの補足になっている。（＾＾；
”自分の直感と違うことも多いだろう。だからと言って、直感を捨ててはいけないんだ！
（一時、日本の数学教育界でδーε全盛時代があった。いわく直感に頼ってはいけない。δーεの理解こそが大学数学だと。が、今日ではそれは否定された。もっと自分の頭で考えることと、自分の直感を磨くことを強調しておきたい）”>>163
294(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/11/02(月) 12:30:36.52 ID:Ra+GZ3GJ(7/14) AAS
>>292
おっちゃん、どうも。スレ主です。
おっちゃんの参戦で、多大の恩恵を受けている当方としては、何も文句を言える筋合いではないですが・・（＾＾；
まあ、ここは初学者も来るので、細かいですが・・・、一言
>開集合や閉集合が角度や長さとかの計量を持った図形でない以上、半ば抽象的なイメージになる。
ここね、気になる
位相（トポロジー）が、角度や長さとかの計量忘れて図形を扱う技法で、抽象的な議論になるのはその通りだ
で、開集合や閉集合は、位相（トポロジー）の道具の一つで、基本的概念の一つ
が、元々の問題は、「複素数体にはユークリッド位相が入っているものとする」>>7だから、距離がキーワードで、開集合や閉集合たちは、少なくとも距離の属性は持っている
その距離の属性を使うことで、>>263の”Example 3.1.5. n 次元ユークリッド空間R^n において,B = {Ur(x) x ∈ Qn , r ∈ Q , r > 0}
とおくとB は可算基である. よってRn は第二可算公理をみたす.” by 幾何学序論講義ノート 佃修一 琉球大学 2014 年 P166 の論証が成り立っているんだ！
>>262-263は、スレ主の主張ではなく、佃修一先生の主張なんだから
そこはしっかり読んでほしいね（＾＾；
314(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/11/03(火) 08:54:27.08 ID:E0ZOM897(5/7) AAS
そうそう、ここら>>312の問題は、564さんの>>7「問題:複素数体の閉集合全体の集合の濃度を求めよ。ただし複素数体にはユークリッド位相が入っているものとする。」
から派生しているんだ
564さん、ｍ（＿ ＿）ｍ ありがとう！
339: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/11/07(土) 09:03:27.42 ID:ZDIzWQj1(7/37) AAS
>>338 つづき
>>312-314に、＜新作問題まとめ＞を書いておいた
1%のひらめきも無いかもしれないが、多少数学的に新しいことを書いたかなと
あるいは、１００年くらい前にだれかが、どこかで思いついて書いているかも知れないほど、素朴な思考。それが、現代数学が進歩して、遠くに忘れ去られたのかも・・
ともかく、 「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」>>313は、「連続濃度の”べきの濃度”＝濃度2^R」という陳述が、あまり見ないので新規かと
まあ、普通は、「非加算」で寸止めして、ここまで踏み込まないんだ（＾＾；
でも、これは前スレで564さん（>>7）が解いてくれたんだがね。超越基底Sを使って鮮やかに解いたので、超越基底Sを使う練習問題としては、意義があるだろうよ
かつ、「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合」を考えることで、群や拡大体を考える練習問題にもなる
ここから派生して、問題>>7に関連して、超越基底Sを考えるはめになった
「実数の超越基底Sの一つの組みとして、任意の実数rの周りでε近傍Uε(r)に全て入る組みを取ることとできる」とか
「実数のどんな超越基底Sの組みも、各点∀s∈Sの周りの半径εのε近傍Uε(s)を考えると、虚数軸にそってずらすことで、複素平面に分散させて、全て重ならないように配置することはできない」とか
分かってしまえば、たわいもない話だ
が、0.1%くらいのinspirationは、認めて貰ってもいいかなと（＾＾；
もちろん、これが新規性のある話だとしてだが・・
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