[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む16 [転載禁止]©2ch.net (683ﾚｽ)
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12(6): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/12(月) 07:41:37.01 ID:bHE7evZI(3/30) AAS
>>7
どうも。スレ主です。
このスレの趣旨をご理解頂きありがとう
まあ、スレ主の勉強のためのスレではあるけれども、一方みなさまのためのスレでもなければならない
だから、みなさんにも楽しんで貰うことも重要なのだ
もちろん、全ての人を満足することは難しいとしても、多くの人に楽しんで貰うを目指したい
ところで、気がついて頂いたようだが、前スレで引用した角皆 宏 （ツノガイ ヒロシ）先生のPDFは解答の参考になると。それを見れば私がほぼ理解していると・・
もちろん、理解と証明を書くこととは別だ。とくに試験場ではね。が、まあ自宅で時間をかければ、理解がすすめば大概は
また、617の問題（>>3に引用）は、564の解答（>>3に引用）があれば、簡単でしょうよ。564の解答が無ければ、別だが
ところで、新主題に対して、過去スレで引用した下記がある
名無しさんになっているが、私だ。
このPDFが、問題>>7の参考になるだろう
2chｽﾚ:math
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13
78 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2015/04/11(土) 23:10:01.30 ID:pLE9DoNh
http://www.juen.ac.jp/math/nakagawa/basicmath.pdf
数学基礎演習 – 集合と位相 – 2014 年度後期 中川仁（なかがわじん）上越教育大学
命題1.23. X, Y がともに可算集合ならば，直積集合X Y も可算集合である．
例1.18 と命題1.23 より，Z^2 は可算集合である．帰納的にZ^n は可算集合である．
命題1.24 と命題1.23 より，Q^2 は可算集合である．帰納的に，Q^n は可算集合である．
13(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/12(月) 07:56:55.88 ID:bHE7evZI(4/30) AAS
>>12 つづき
訂正：新主題→新出題
ところで>>7に戻るが「問題:複素数体の閉集合全体の集合の濃度を求めよ。
ただし複素数体にはユークリッド位相が入っているものとする。」
は、「問題:複素数体にはユークリッド位相が入っているものとする。
複素数体の閉集合全体の集合の濃度を求めよ。」の方が流れが良いだろう
いわずもがなだが、閉集合は定義次第。先にユークリッド位相を宣言すべき。”但し・・”と後付けで書く流儀もあるが、それは”但し・・”の部分が軽いとき（例えばほぼ自明だが念のためとか）
この場合も閉集合は自明に近いが、先の方が流れが良いと思った
ところで、私スレ主が位相に弱いと思っての心遣いと思うが、今後はご無用に
位相に弱いは当たっているし、これはこれで良いが、このスレは単純に問題と解答というスレではないと
位相の勉強を、問題ー解答だけでやっているときりながないだろ？
出題に戻ると、「第一感、簡単じゃないか」と思ったが、結構難しかった。解けたけどね。が、解答を書くと、>>3の解答のネタばらしになるから後で
38(2): １３２人目の素数さん [sage] 2015/10/12(月) 15:51:24.51 ID:WXWksHFO(1/4) AAS
>>6、>>12
お久しぶりです。おっちゃんです。
>ここで、564の解答があるから、617は別に難しくない
617を解くのに超越基底はいらない。それどころか、体も殆どいらない。
本当に簡単な複素解析、加法群の定義、集合論の知識があれば十分かな。
617を解くにあたっては、連続体仮説の問題も関係ない。
で、答えは、自然数全体からなる集合の濃度をℵ_0として、実数直線Rの濃度2^{ℵ_0}。
何か凄いバトルやっていたようだな。
39(5): １３２人目の素数さん [sage] 2015/10/12(月) 16:21:40.27 ID:WXWksHFO(2/4) AAS
>>6、>>12
例えば、617は
複素数体Cの「加法」部分群全体の集合をAとする。実数直線Rは複素平面Cの空でない真部分集合である。
また、通常の加減乗除の演算について、実数直線Rは加法群として扱うことが出来、同様に、複素平面C
は加法群として扱うことが出来る。従って、R、Cを両方共に、通常の加減乗除の演算について加法群と
見なすと、通常の加法+の演算について、Rは加法群Cの部分群である。従って、A≠Φである。ここで、
Cの加法部分群G∈Aを任意に取る。すると、複素平面C上の点0は加法群Cの単位元であることに注意すると、
Gの単位元は点0である。G⊂Cなることに注意して、Gの各元zに対して、zの実部をRe(z)、zの虚部をIm(z)
とする。すると、任意のzに対してRe(z),Im(z)∈R。また、加法群Rは加法群Cの加法部分群である。複素
平面C上において実軸と虚軸は直交するから、Gは、或る1つの複素平面C上の点0を通る直線上の全体から
なるような集合である。Cの加法部分群Gは任意であるから、GをAの中で走らせると、Aの濃度は、平面C上の
点0を中心とする、半径1の半円の、平面Cの実軸を含むような平面Cの上半分にあたる部分における点全体
からなるような、平面Cの部分集合における、半円の弧C'からC'の1つの端点-1を除いて出来る部分集合
C'-{-1}の濃度に等しい。つまり、Aの濃度は、平面Cの上半平面における点0を中心とする半径1の半円の弧の
部分集合に、平面Cの点1を加えた曲線C'-{-1}の濃度に等しい。ここで、偏角の不定性に注意すると、C'-{-1}
は、C'-{-1}＝{e^{θi}∈C|0≦θ＜π}と表せる。また、区間[0,π)からC'-{-1}への全単射が存在する。従って、
C'-{-1}の濃度は区間[0,π)の濃度に等しい。C'-{-1}の濃度はAの濃度に等しいから、Aの濃度は区間[0,π)の
濃度に等しい。区間[0,π)は区間[0,1)を含み、区間[0,1)の濃度は実数直線Rの濃度2^{ℵ_0}に等しいから、
区間[0,π)の濃度は2^{ℵ_0}である。
というように解けますな。まあ、もしかしたら、解くにあたって細部の論理の飛躍があるかも知れんが、
大体の方針は上のようになる。
40: １３２人目の素数さん [sage] 2015/10/12(月) 16:29:45.53 ID:WXWksHFO(3/4) AAS
>>6、>>12
>>39の
>すると、任意のzに対してRe(z),Im(z)∈R。
の部分は、正確には
>すると、任意の「z∈G」に対してRe(z),Im(z)∈R。
だな。まあ、一般に任意の複素数zに対してRe(z),Im(z)∈Rで、
このあたりは何ともいえんが。
42: １３２人目の素数さん [sage] 2015/10/12(月) 16:52:16.48 ID:WXWksHFO(4/4) AAS
>>6、>>12
あっ、あと>>39では問題を解くときに一応最後に肝心な？
>区間[0,π)は区間[0,1)を含み、区間[0,1)の濃度は実数直線Rの濃度2^{ℵ_0}に等しいから、
>区間[0,π)の濃度は2^{ℵ_0}である。
のあとに
>従って、Aの濃度は2^{ℵ_0}である。
という文章を付け加えるのを忘れた。こういうのは、直前に
>Aの濃度は区間[0,π)の濃度に等しい。
と書いてあるから、文章の流れとしてはなくてもいいとは思うが。
48: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/10/12(月) 20:49:50.82 ID:bHE7evZI(30/30) AAS
>>47
どうも。スレ主です。
564さん、レスありがとう。が、書いちゃったね・・（＾＾；
ぼかしてたんだよ、それ（前半部分）>>44
でも、これで分かったろう？ >>12に書いたこと
おれが全部解いたら、みなさんの勉強の機会をうばうことになると（＾＾；
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