[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む14 [転載禁止]©2ch.net (562ﾚｽ)
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465(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/08/08(土) 18:58:37.93 ID:JPtSuWhm(12/22) AAS
>>464 適当に抜粋
2.8 ガロアの定理２（方程式の可解性）
定義
K を体, f(X) = a0X^n + a1X^n?1 + ・ ・ ・ + an (a0 ≠ 0) をK 係数の多項式とし, Q(a1/a0, ・ ・ ・ , an/a0) 上のf(X) の最小分解体をL とする.
L がQ(a1/a0, ・ ・ ・ , an/a0) 上べき根によって構成されるとき, 方程式f(X) = 0はべき根によって解ける, または代数的に解ける, という.
定義
f(X) = a0X^n + a1X^n?1 + ・ ・ ・ + an をK = Q(a1, ・ ・ ・ , an) 係数の多項式とし, L をK 上のf(X) の最小分解体とする.
このとき, Gal(L/K) を方程式f(X) = 0 のガロア群, または, 多項式f(X) のガロア群という.
補題35 K を体, f(X) ∈ K[X] とする. M をK の拡大体とするとき, GalM(f)はGalK(f) の部分群に同型である.
証明
L をf のK 上の最小分解体とする. L の分解をf(X) = a(X ?α1) ・ ・ ・ (X ? αn) とすると, L = K(α1, ・ ・ ・ , αn) である.
したがってLM =M(α1, ・ ・ ・ , αn) である. これはLM がf(X) のM 上の最小分解体であることを示す.
すなわちLM はM のガロア拡大である. よって, Gal(LM/M) = GalM(f).
ガロア群G = Gal(LM/K) = GalM(f) の元のL への制限を考えることにより, これはもちろんK の元を固定するので,
準同型写像φ : G → Gal(LM/M) ∋σ → σ|L ∈ Gal(L/K) が得られる.
GalM(f) = Gal(LM/K) ≡ H = Gal(L/L ∩M) ⊂ GalK(f) となる. （証明終）
補題36 K を体, L をK の拡大体, L1, L2 をL とK の中間体とする. L1, L2がK の有限次アーベル拡大であれば, L1L2 もK の有限次アーベル拡大である.
証明
L1L2 がK のガロア拡大であることは, 補題35 の証明の中で述べた.
定理37 （ガロアの定理２） K を体とし, f(X) ∈ K[X] とする.
方程式f(X) = 0 が代数的に解ける. ⇔ f(X) のガロア群が可解群である.
証明
f(X) = X^n + c1X^n?1 + ・ ・ ・ + cn = (X ? α1) ・ ・ ・ (X ? αn) とし,
Q(c1, ・ ・ ・ , cn) を改めてK とおき, L = K(α1, ・ ・ ・ , αn) とおくと,
f(X) = 0 が代数的に解けるとは, L がK 上べき根によって構成されることで,
このとき方程式f(X) のガロア群Gal(L/K) について, ’L がK 上べき根によって構成される. ⇔Gal(L/K) が可解群である.’
466(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/08/08(土) 19:19:10.38 ID:JPtSuWhm(13/22) AAS
>>465 つづき
あまりにも記号が混乱し、記載が錯綜しているので、意味が判然としないが・・
１．まず、問題の「Gal_M (f) 」は、”補題35 K を体, f(X) ∈ K[X] とする. M をK の拡大体とするとき, GalM(f)はGalK(f) の部分群に同型である.”と出てくる
２．その証明からすると、まずGalK(f)＝Gal(L/K) （すぐ上の定義の「方程式f(X) = 0 のガロア群, または, 多項式f(X) のガロア群」）のことでしょうね
３．で、K ⊂ M ⊂ L （Lはすぐ上の定義で「L をK 上のf(X) の最小分解体」）で、Mは中間拡大の意味だろう
４．だから、Gal_M (f) は、中間拡大体のガロア群と解釈できる（というかそれしかない）。それで補題36につながる。
５．で、定理37 （ガロアの定理２）の証明になるけれども、ここではGal_M (f) は使わずに、ガロア群Gal(M/K)を使っているみたい。補題36ではL1,L2を使っているんだが
ということで、この部分は別のテキストをお勧めします。
480: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/08/08(土) 22:59:43.58 ID:JPtSuWhm(22/22) AAS
>>464-468を書いた。津山高専 松田 修先生のガロア理論入門ノート（詳細）が分からんと>>444-446があったから
これが、wikipediaやどこかのサイトからのコピペでないことは明らか
これが合っているか間違っているか、見る人が見れば分かるだろう
私スレ主がガロア理論を分かっているかって？ まあ、この程度を書けるくらいには、分かっているってこと
イデアルはまだこれからだが、この程度にはいけるんじゃないですかね（＾＾；
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