[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む14 [転載禁止]©2ch.net (562ﾚｽ)
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117(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/07/11(土) 15:46:50.13 ID:FKo26YYw(14/32) AAS
>>110 つづき
３．双対ベクトル空間
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E5%AF%BE%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93
数学におけるベクトル空間の双対ベクトル空間（そうついベクトルくうかん、英: dual vector space）あるいは単に双対空間（そうついくうかん、英: dual space）は、そのベクトル空間上の線型汎函数（一次形式）全体の成す空間として定義される。
有限次元ベクトル空間の双対空間はテンソルの研究に利用することができる。
函数の成す（典型的には無限次元の）ベクトル空間に対する双対空間は、測度や超函数、あるいはヒルベルト空間のような概念の定義や研究に用いられ、結果として双対空間は函数解析学の研究における重要な観念となっている。
一般に双対空間には、代数的双対と連続的双対の二種類が用いられており、代数的双対は任意のベクトル空間に対して定義することができるが、
位相線型空間を扱うときは代数的双対よりもその部分線型空間として、連続線型汎函数全体の成す連続的双対空間を考えるのが自然である。
双対空間
体 F 上の任意のベクトル空間 V の（代数的）双対空間 V^? は V 上の線型写像 φ: V → F（すなわち線型汎函数）全体の成す集合として定義される。
集合としての V^? には、次の加法とスカラー乗法
φ + ψ(x) = φ(x) + ψ(x)
(a φ)(x) = a (φ(x))
(φ,ψ∈ V^*, x∈ V, a∈ F)
を定義することができて、それ自身 F 上のベクトル空間となる。この代数的双対空間 V^? の元を、余ベクトル（共変ベクトル）あるいは一形式と呼ぶこともある。
双対空間 V^? の元である汎函数 φ と V の元との対をしばしば括弧を用いて φ(x) = [φ,x][1] あるいは φ(x) = ?φ,x?[2]で表す。
この対の記法は非退化な双線型形式[3] [・,・]: V^? × V → F を定める。このとき、[,] は V^? とV との間に双対性を定める、V^? と V を双対にする、あるいは V と V^? の双対性を表す内積 (duality pairing) であると言う。
118(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/07/11(土) 15:54:54.55 ID:FKo26YYw(15/32) AAS
>>117 つづき
４．有限次元の場合
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E5%AF%BE%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93
有限次元の場合
V が有限次元ならば、V? は V と同じ次元を持つ。V の基底 {e1, ..., en} から双対基底と呼ばれる特別な V? の基底を定義することができる。それは V 上の線型汎函数の集合 {e1, ..., en} で、係数 ci ∈ F の選び方に依らず
e^i(c_1 e_1+・・・+c_n e_n) = c_i (i=1,・・・,n)
を満たすものとして定義される（上付きの添字が冪を意味するものではないことに注意せよ）。特に、一つの係数を 1, 残りをすべて 0 とすることにより、関係式は
e^i （e_j) = δ_ij
に帰着される。ここに δij はクロネッカーのデルタである。
例えば V が座標平面 R2 でその標準基底 {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)} に選べば、e1, e2 は e1(e1) = 1, e1(e2) = 0, e2(e1) = 0, e2(e2) = 1 を満たす線型形式である。
特に Rn を実数を成分とする n-項「列」ベクトル全体の成す空間と見做すとき、その双対空間は典型的には実数を成分とする n-項「行」ベクトル全体の成す空間として書かれ、その Rn への作用が通常の行列の積によって与えられるものと見做すことができる。
V が平面上の幾何学的なベクトル（有向線分）からなる空間であるとき、V? の元の等位曲線は V の平行線の族からなる。
故に V? の元は直観的には平面を被覆する特定の平行線族と見做すことができる。
このとき、与えられたベクトルにおける汎函数の値を計算するには、そのベクトルが平行線族のどの線上にあるかを知るだけでよい。
イメージとしては、そのベクトルが何本の平行線と交わるかを数えればよいことになる。
より一般に、V を任意有限次元のベクトル空間とするとき、V? に属する線型汎函数の等位集合は V の平行超平面族であり、汎函数の各ベクトルにおける値はこれら超平面を用いて理解することができる[4]。
121(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/07/11(土) 18:29:42.68 ID:FKo26YYw(18/32) AAS
>>117 関連
あとは、面白そうだが、佐藤と関係なさそうなので省略
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB
テンソル（英: tensor, 独: Tensor）とは、線形的な量または線形的な幾何概念を一般化したもので、基底を選べば、多次元の配列として表現できるようなものである。
しかし、テンソル自身は、特定の表示系によらないで定まる対象である。個々のテンソルについて、対応する量を記述するのに必要な配列の添字の組の数は、そのテンソルの階数とよばれる。
例えば、質量や温度などのスカラー量は階数0のテンソルだと理解される。同様にして力や運動量などのベクトル的な量は階数1のテンソルであり、力や加速度ベクトルの間の異方的な関係などをあらわす線型変換は階数2のテンソルで表される。
物理学や工学においてしばしば「テンソル」と呼ばれているものは、実際には位置や時刻を引数としテンソル量を返す関数である「テンソル場」であることに注意しなければならない。
いずれにせよテンソル場の理解のためにはテンソルそのものの概念の理解が不可欠である。
テンソルの応用と重要性
テンソルは、物理学や工学において重要な位置を占めている。例えば、拡散テンソル画像では、さまざまな方向への臓器の水に対する微分透過率を表すテンソル量を用いて、脳の走査像が構成される。
おそらく工学でテンソルが最も活用されているのは応力テンソルとひずみテンソルだろう。これらは2階のテンソルで、4階のテンソルである弾性テンソルによって一般の線型的な素材に関連づけられている。
とくに3次元の物体中の応力を表す2階のテンソルは3次の正方行列によって成分を表示することができる。
物体の中の立方体状の無限小体積要素について3方向の面それぞれ（向かい合う面どうしは十分近いので同一視される）に一定の力がかかっていて、力は3つの方向の要素を持っている。
したがって3×3、つまり9個の成分によってこの立方体状無限小体積要素（最終的には点と見なされる）における応力が記述される。物体の境界内にはこの応力が（場所によって異なった値をとりながら）分布しており2階のテンソル（場）が考えられることになる。
抽象的なテンソルの理論は今では多重線型代数と呼ばれる線型代数の一分野になっている。
つづく
333(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/07/26(日) 07:17:18.26 ID:yHhmJJ+L(3/35) AAS
>>322 補足
>双対空間というのはベクトル空間上の線形写像からなる空間で、ちょうどベクトル空間の関数たちの集まりのような形になっています。
下記が分かり易い。（双対については、>>110微分 >>117-120 >>123テンソル などにもある）
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/04senke/120snk.html
ときわ台学/線形代数/双対空間（双対ベクトル空間）: ２ 線形写像と双対空間 f-denshi.com 最終更新日： 0７/10/09 （少しだけ説明を追加しました。）
抜粋
ベクトル空間V上の線形写像全体の集合はベクトル空間であり，これをVの双対ベクトル空間(または双対空間)V*といいます。
やや抽象的な概念ですが基礎物理学（量子力学，素粒子論）から工学的な応用（散乱現象，線形応答）まで線形代数の関わるあらゆる分野に登場する重要な概念です。
［５］ これまででてきたことを一覧表にして比べます。（一覧表略。本文を見て下さい）
［６］ この表からは注目に値する対称性が見てとれますね。この表を基にしてもう一度，写像：
φ(x )＝｛χ1e^1＋χ2e^2＋･･･＋χne^n ｝( x^1e1＋x^2e2＋･･･＋x^nen )
＝ x^1χ1＋x^2χ2＋･･･＋x^nχn
を， ”左側の｛ ｝は関数，右側( )は変数” に由来するという先入観を捨て去って見てみると，
φ(x ) という関数記号の”読み方”として，
(A) χj を固定して，x^k を変数と見れば，
⇒ 写像φ，変数 x [φ： V→R］
(B) x^k を固定して，χj を変数と見れば，
⇒ 写像 x ，変数 φ [x ： V*→R］
の２とおりに同等の権利を持たせてもかまわないように見えるでしょう。特に，(B)の見方をすれば，演算＋，･のもとで，
「”写像 x ” は V*上の線形関数」
とみなすと主張することも可能です。
このような対称性を視覚的に強調するために，ベクトルの成分の添え字を x^n と上に書いたり，関数を展開するときの基底を e^j と書くような工夫が凝らされているのです。
なぜ，ベクトルやベクトル成分の添数字を上付きにするような記法が存在するのか分かっていただけたでしょうか？
おわり
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