現代数学の系譜11 ガロア理論を読む14 [転載禁止]©2ch.net

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76: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/07/05(日) 08:45:14.62 ID:viMYoeuU

下記ご参考
http://www.st.sophia.ac.jp/lecture/no09.php
理工ミニレクチャー第9回　超関数の理論、熱方程式、ディジタル信号処理の数学的基礎付け 2012年以前
吉野邦生（よしの くにお）上智大学理工学部助教授 専門は解析汎関数の理論と応用

どんな本を読んでいたのですか？

“分散公式の証明、場の量子論における解析性、楔の刃の定理”などの題名を見ているだけでワクワクしてました。
寺沢寛一先生の“自然科学者のための数学概論(上、下)“、犬井鉄郎先生の”特殊関数“や”応用偏微分方程式”など読んで“ラプラス方程式の解の特異性は虚の方向に伝播する“なんていう文章に感動してました。
勿論、証明はないんですけど、直感的に言い切る所がすごいと思いました。数学的には今では、”超局所解析学“という理論でキチンと証明されてます。
量子力学の講義がないのは非常に不思議です。行列の積が非可換だというのも量子力学をやって初めて意味が分かった気がします。
もっともこういうのも授業で習うと途端につまらなくなるんですよね。 修士論文で目指した定理も（あとで判ったのですが）レッジェ極理論（複素角運動量の理論）や量子統計力学（松原グリーン関数）で使われています。
最近、Bose―Einstein凝縮の事を調べていたら、昔、自分が計算していた積分が出ていて、リーマンゼータ関数やアッペル関数が出ているのを見てなんだか懐かしかったですね。

最近はどのような研究をしているのでしょうか？

韓国や、セルビア、ベルギーの研究者たちと表題にある熱方程式の理論や調和振動子の波動関数による超関数の理論と調和解析への応用について研究しています。
これは、５、６年前から始めた研究なんですが、はじめのうちは、なんだか、さっぱり分からなくて、当時指導していた大学院の学生と頭を抱え込んでいました。杉田玄白や前野良沢の心境でした。
セルビアの研究者達の論文が解読できてから、いろいろ自分でも論文が書けるようになりました。２００４年のセルビアでの研究会ではじめてセルビアの研究グループの人たちと会いました。
自分が読んでいた論文の著者が女性数学者達だとは知りませんでした。指導していた大学院生はこのテーマで理学博士になり、今は研究者として活躍しています。

http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1434753250/76

77: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/07/05(日) 08:54:35.95 ID:viMYoeuU

これも
http://www.kanenko.com/~kanenko/KOUGI/
カーネンコの講義録
平成１６年度(2004)の担当講義
http://www.kanenko.com/~kanenko/KOUGI/Cho/cho.html
情報科学科３４年『情報科学特別講義 II』のページ
本講義は, 僕の専門である超函数と偏微分方程式の超局所解析の解説を行うものです.
ここでこんな講義をやるとは全く予期していなかったのですが, 好奇心旺盛な 今年の卒研生が, 僕がどんな研究をしているのか知りたいというので, どこま で続くか分かりませんが, やってみることにしました.

毎回の講義の概要
第１回(１０月６日)：超函数とは？
超函数の歴史的背景を説明し, 超函数の３通りの捉え方をデルタ函数を例に取 り説明しました.
第２回(１０月１３日)：超函数と積分
シュワルツ流の超函数と佐藤流の超函数に付いて, 定積分の定義を検討しまし た.
第３回(１０月２０日)：超函数と微分
超函数のシュワルツ式微分の定義の準備のため, 局所凸位相線型空間とその双 対空間の話をしました.
（略）
第７回(１２月１日)：緩増加超函数のフーリエ変換
シュワルツ空間の定義をし, 緩増加超函数のフーリエ変換を導入しました.
１２月８日　河村先生のご本の校正をみんなでやったため休講
第８回(１２月１５日)：フーリエ超函数
佐藤流のフーリエ変換論の紹介をし, １のフーリエ変換と, ポアソンの和公式 の証明をしました.
１２月２２日　応用数学合同シンポジウムに参加のため休講
第９回(１月１２日)：リュービルの定理
緩増加超函数の偏微分方程式論への応用を述べ, 佐藤超函数の場合との 違いを解説しました.
第１０回(１月１９日)：Fourier 超函数の構造定理
佐藤の超函数が大域的に連続函数の無限階微分で表されることの証明を途中ま でやりました.
第１１回(２月２日)：Paley-Wiener の定理と実解析解の延長
定数係数線型偏微分作用素に対する Ehrenpreis の基本原理を解説し, 小生の 修士論文の内容である, 凸コンパクト集合への実解析解の延長定理を証明の粗 筋とともに紹介しました.

これで全日程終了です. 今まで絶対無理だと思っていましたが, 小生の主要業 績を学部生に対して半年で解説しようと思えばできるんですねえ. (*^^*)

http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1434753250/77

79: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/07/05(日) 09:20:07.02 ID:viMYoeuU

この程度のことは、どこにでも書いてありますが
まあ、情報集約ということで、アップしておきます
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E5%87%BD%E6%95%B0#.E8.B6.85.E5.B1.80.E6.89.80.E8.A7.A3.E6.9E.90
超函数論に重要な影響を与えたのは、偏微分方程式論や群の表現論などからの技術的な要請であった。

先駆的な研究
19世紀の数学には、例えばグリーン函数の定義やラプラス変換、あるいは（可積分函数のフーリエ級数には必要でない部分の）リーマンの三角級数論などが、超函数論の片鱗として垣間見える。
これらは当時、解析学の一部とは扱われていなかったものである。

工学におけるラプラス変換の重用は、経験則に基づく記号的操作としての演算子法を生み出した。
演算子法の正当化は発散級数を用いて与えられたため、純粋数学の観点からは悪い風評をうけることとなるが、これらは後の超函数法の典型的な応用先である。
1899年に出版されたヘヴィサイドの本 Electromagnetic Theory（『電磁気論』）は演算子法の定番の教科書となった。

ルベーグ積分が導入されると、超函数は初めて数学の中心に踊り出ることとなった。ルベーグ積分論では、殆ど至る所一致する可積分函数はすべて同値であると看做される。
これはルベーグ積分論において函数の個々の点における値というのは函数の重要な特徴ではないということを意味する。
可積分函数の本質的な特徴は、函数解析学における明確な定式化（つまり、他の函数の集合上で定義される線型汎函数として定義する方法）のもとで与えられた。こうして、弱微分の概念が定義されるようになる。

1920年代後半から1930年代に掛けて、その後の研究の基となる更なる展開がなされる。
ディラックのデルタ函数はポール・ディラックが（彼の科学的形式主義の一部として）大胆に定義したもので、これは測度を（素性のよい函数を成す電荷密度のような）密度として考えるという扱い方をしている。
ソボレフは、偏微分方程式論の研究において偏微分方程式の弱解をきちんと扱うために、数学の観点からも十分正当な超函数論を初めて定義した。
同じ頃、関連するほかの理論がボホナーやフリードリヒらによっても提案されている。ソボレフの業績は後にシュワルツによってさらに拡張され発展することとなる。

http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1434753250/79

81: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/07/05(日) 09:38:51.07 ID:viMYoeuU

>>75
第2超局所解析の第2の意味が分からなかったが、下記で委員会？
https://kaken.nii.ac.jp/d/p/15540185.en.html
特異的なフーリエ積分作用素・超局所双曲性・第2超局所解析 戸瀬 信之 慶應義塾大学・経済学部・教授

Abstract(Latest Report)
1(特異約なフーリ工積分作用素)線形双曲型偏微分方程式の解の(超局所)特異性の伝播の研究においては、解の特異性の分岐、conical refractionなど様々な現象が解析されてきた。
特に、結晶光学に現れるconical rehactionの現象は、自然界に現れる自然なものとして多くの視点から研究が進められてきた。
1985年ころから、conical refractionの研究に、余接束をその包合的な多様体に沿って爆裂して解析を行なう第2超局所解析(second microlization)を用いて分析を行なうことが試みられ、P. Laubin(LIEGE大)や私の研究により一定の結果を得る事ができた。
第2超局所解析は、包合的な多様体上の超局所特異性を、余接束をその包合的な特性多様体にそって爆裂した空間上で解析を行なうものであるが、上で述べた研究で中途半端になっているものがある。
超局所解析では、量子化接触変換、フーリ工積分作用素によつて、擬微分方程式が単純特性的な点において簡単な標準形にうつることが示されているが、第2超局所解析ではこの方向の研究が不十分である。
すなわち、変換理論自体はあるのであるが、マイクロ函数の第2超局所特異性を分解した層を部分層として含む第2マイクロ函数の層の枠組みで構成されたものである。
この研究では、解の構成に変換理論が使えるように、マイクロ函数の第2超局所特異性を分解した層の枠組みで変換理論を構成するための様々な準備を行なつた。

2(第2超局所特異性の基礎的な研究)第2超局所解析で自然に現れる第2超函数の層は、正則包合的な多様体上に制限した佐藤のマイクロ函数の層を含む。この第2超函数の層を退化した偏微分方程式の境界値問題に応用した。

http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1434753250/81

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