[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む14 [転載禁止]©2ch.net (562ﾚｽ)
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423(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/08/02(日) 16:32:27.12 ID:RNEBrpg2(1/12) AAS
どうも。スレ主です。
小島本を読んで貰えれば、ここで書く必要もないのでね・・
小島本の良いところは、コンセプト（概念や思想）を書いてあるところだ
その対極が、ブルバキや和歌山大学教育学部 佐藤英雄か
例えば、「直観を正当化するために作業仮説として直観を排する。それが本稿の立場である。」2chｽﾚ:math
あるいは、論理の厳密性命（下記）
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd.html
ブルバキと「数学原論」 pdf 斎藤毅 (数学セミナー2002年4月号)
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd/bourbakib.pdf
「数学原論」のページを開いてみることにしましょう. まず本文をみてみると,
そこにあるのは, 定義, 定理, 命題とその証明の羅列です. いくらページをめくっても,
それが延々と続き, 目を休ませてくれるような図や表といったものもほとんどありませ
ん. 何故そういう定義をおくのかとか, どうしてこの定理は大事なのかとか, この命題
はどんな使い道があるのかといった説明もありません. 数学の厳密で正確な記述だけ
が, 淡々と続きます.
なぜ彼らはこういう文体, 構成をとったのでしょうか. それは, 彼らが目標とし
た, 正確さ, 厳密さを確保するための方法によるものなのです. それがどういうもので
あるかは, 各分冊の最初のページにある, 「この本の使い方」に書かれています. いく
つか抜粋します.
「この原論は数学をその第一歩から取扱い, 完全な証明をつける」
「叙述の仕方は公理的, 抽象的であり, 原則として, 一般から特殊へと進む」
「内容は原則として厳密に定められた論理的順序に従って配列される」
「すでに広い知識を持合わせている読者にしかその効用がわからないような事柄も
含まれている」
完全な証明をつけるのですから, 図などを使って読者の直観に訴えるのは反則なのです.
424(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/08/02(日) 16:34:42.36 ID:RNEBrpg2(2/12) AAS
>>423
いま、ブルバキ命という人は減った
が、まだ数学は厳密性命と思っている人もいる
それは半分正しい
が、ブルバキ（厳密性命）の限界も見えてきたのが２１世紀だ
425(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/08/02(日) 16:39:02.24 ID:RNEBrpg2(3/12) AAS
>>424
これが正しいかどうかは別として引用する
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8B%E3%82%B3%E3%83%A9%E3%83%BB%E3%83%96%E3%83%AB%E3%83%90%E3%82%AD
ブルバキの影響は年と共に次第に低下していった。その理由の一つは、彼らの抽象化はそれだけではあまり有用でなかったためである。
またひとつには、重要と考えられるようになった別の抽象化、例えば圏論などをカバーしていないためでもある。
ブルバキのメンバーの一人アイレンベルグは圏論の創始者であり、グロタンディークも圏論を積極的に論じた。だが圏論を導入するには、それまでに発表されてきたブルバキの著作に根本的な修正を与えなければならなかった。
そのため圏論についてのブルバキの著作は準備されていたものの、結局は書かれなかった。
426(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/08/02(日) 16:52:23.36 ID:RNEBrpg2(4/12) AAS
>>425
"ブルバキ（厳密性命）の限界も見えてきたのが２１世紀"の例として、やはり大きなものは物理からの影響だ
いろいろありすぎで、いちいち例示するのも大変
まあ、要するに、ブルバキ（厳密性命）の発想を超えた世界があるということを示す人たちが現れたってことかな
その代表者がWittenだろう https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%89%E3%83%AF%E3%83%BC%E3%83%89%E3%83%BB%E3%82%A6%E3%82%A3%E3%83%83%E3%83%86%E3%83%B3
http://mathsoc.jp/pamph/history/ICM90/
http://mathsoc.jp/pamph/history/ICM90/sugaku4301051-058.pdf
1990年 ICM-90--数学 第43巻第1号(1991)から
フィールズ賞受賞者紹介 E. Witten 氏の業績I 江口 徹 http://mathsoc.jp/pamph/history/ICM90/sugaku4301051-058.pdf
E. Witten 氏の業績II 深谷賢治 http://mathsoc.jp/pamph/history/ICM90/sugaku4301058-066.pdf
427(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/08/02(日) 17:23:59.46 ID:RNEBrpg2(5/12) AAS
>>426 つづき
乏しい見聞の記憶を辿れば
・リーマン予想のゼロ点の分布がガウス型ユニタリ・アンサンブル（GUE）にしたがうランダム行列の固有値の間隔の分布と統計的に同一 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E4%BA%88%E6%83%B3
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%82%B4%E3%83%A1%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%82%AA%E3%83%89%E3%83%AA%E3%82%BA%E3%82%B3%E4%BA%88%E6%83%B3
・ドナルドソンのYang-Millsゲージ理論を用いた理論 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B5%E3%82%A4%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%89%E3%83%8A%E3%83%AB%E3%83%89%E3%82%BD%E3%83%B3
・ミラー対称性 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9B%E3%83%A2%E3%83%AD%E3%82%B8%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%83%9F%E3%83%A9%E3%83%BC%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E6%80%A7%E4%BA%88%E6%83%B3
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9F%E3%83%A9%E3%83%BC%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E6%80%A7_%28%E5%BC%A6%E7%90%86%E8%AB%96%29
・AdS/CFT対応（これはまだ数学になってないかも） https://ja.wikipedia.org/wiki/AdS/CFT%E5%AF%BE%E5%BF%9C
・ソリトンも物理から https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BD%E3%83%AA%E3%83%88%E3%83%B3
英語版が詳しい https://en.wikipedia.org/wiki/Soliton
・作用素環論（数理物理（特に量子力学）の定式化に使われる） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0%E7%92%B0%E8%AB%96
その他、佐藤超関数も物理の影響大。そういえば、元のデルタ関数も物理からの輸入だし
これらは、ブルバキ（厳密性命）流では、到達はずっと後だったろう
山登りで言えば、山の頂が先に見えて、そこを目指して登っていった
ブルバキ（厳密性命）のやり方は、一歩ずつ歩けば、いずれ頂きには到達するんだと
確かに、ギリシャの原論（ユークリッド）の時代は正しいよ。低い山に登るならね
が、２１世紀に登る山は、富士山以上。場合によれば、アルプスやエベレスト級。無防備にふもとから徒歩で登る人はいない。そんなことをしたら人生を棒に振る
地図を見て、シェルパが居て、酸素ボンベや登山用具準備してという時代だと思うんだよね
繰り返すが、ブルバキの目指したギリシャの原論（ユークリッド）モデルは、低い山には通用する
428(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/08/02(日) 17:26:52.61 ID:RNEBrpg2(6/12) AAS
>>427 つづき
その点、小島本>>423や、ガロア本のCox>>272は、ブルバキの対極ではないかと
431: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/08/02(日) 17:42:37.67 ID:RNEBrpg2(7/12) AAS
>>428 つづき
あと、２０世紀に発展した脳科学（下記）。「90%以上の人では言語野は左半球にある」という
まあ、ブルバキ（厳密性命）流は、言語野だけで数学をやろうということだ
が、もっとイメージや概念（コンセプト）を大事にというのが、脳科学からのメッセージではないだろうか？
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%84%B3%E6%A9%9F%E8%83%BD%E5%B1%80%E5%9C%A8%E8%AB%96
脳機能局在論
90%以上の人では言語野は左半球にある。
右脳・左脳論
脳機能局在論に関して、一般に広く知られる右脳・左脳論があり、これは左半球が言語や論理的思考の中枢であり、右半球が映像・音声的イメージや芸術的創造性を担う、という観念である。
発達心理学者のサイモン・バロン＝コーエンは、著書『共感する女脳、システム化する男脳』の中で、
男性は平均的に分析能力が高く、女性は平均的に共感能力が高いとしたうえで、
男性は大脳の右半球が早い時期から急速に発達するため空間把握・分析能力が高くなること、
一方、女性は幼児期の早い段階から言語認知に関して左脳の優位を示すため、コミュニケーションに長けて共感能力が高くなることを示した。
右半球と左半球をつなぐ脳梁を切断した分離脳の状態では、右半球を使う左目に絵を見せられても、見えるだけでそれが何かという論理的な認識ができない。
脳の右半球と左半球は脳梁に結合されて協調して認識を行う。
432: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/08/02(日) 17:43:32.58 ID:RNEBrpg2(8/12) AAS
では
433: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/08/02(日) 17:48:18.53 ID:RNEBrpg2(9/12) AAS
そうそう、補足
>>427
>繰り返すが、ブルバキの目指したギリシャの原論（ユークリッド）モデルは、低い山には通用する
数学の厳密性を否定するつもりはないんだよ
ギャップがあれば、証明は完成していない
だから、厳密性は数学の基礎体力であることは確かだ
が、何人かの共同研究とか、佐藤幹夫みたく優秀な弟子を獲得して、共同でやるとかもありだろうね
435: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/08/02(日) 18:12:18.31 ID:RNEBrpg2(10/12) AAS
おっと、これも、検索でヒットしたので、備忘録にメモしておきます。なのかのご参考まで
ソリトンと逆散乱法のRobert M. Miura （Robert Mitsuru Miura）（日系人か）
https://en.wikipedia.org/wiki/Soliton 日https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BD%E3%83%AA%E3%83%88%E3%83%B3
In 1967, Gardner, Greene, Kruskal and Miura discovered an inverse scattering transform enabling analytical solution of the KdV equation.[6]
6. Gardner, Clifford S.; Greene, John M.; Kruskal, Martin D.; Miura, Robert M. (1967).
"Method for Solving the Korteweg?deVries Equation". Physical Review Letters 19 (19): 1095?1097. Bibcode:1967PhRvL..19.1095G. doi:10.1103/PhysRevLett.19.1095.
https://en.wikipedia.org/wiki/Robert_M._Miura
Dr. Miura's research has spanned many subjects in the mathematical sciences.
His earliest contributions were on the topic of conservation laws for nonlinear wave equations.
Dr. Miura discovered an inverse scattering transformation known as the Miura Transformation for analytically solving the modified Korteweg?de Vries equation. This work helped establish the theory of solitons.
http://genealogy.math.ndsu.nodak.edu/id.php?id=17763
Mathematics Genealogy Project - Robert Mitsuru Miura
参考
The Korteweg-de Vries Equation: History, exact Solutions, and graphical Representation 2000 http://people.seas.harvard.edu/~jones/solitons/pdf/025.pdf
Korteweg-de Vries Equation - The World of Mathematical 2004 http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/npde/npde5101.pdf
436(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/08/02(日) 20:05:12.57 ID:RNEBrpg2(11/12) AAS
>>434
どうも。スレ主です。
”山登りでいえば、山の頂もそこまでの道のりも先に見えていて、
その道のりを淡々と書くのがブルバキの原論だ
新しい山を見つけるわけではない”
これは、当たっていると思う。が、ブルバキに対する批判にもなっていると思う
その当時では最新の（しかし過去の）数学を、過去の言葉で語ったものだと
でも、おそらくは、彼らの意図はそうではなくて、「現代的な教科書」の決定版のつもりだったろう
そうでなければ、「定年」は重視されなかったはず。単に過去を書くだけならね
しかし、私もブルバキの和訳を手に取ったことがあるが、「読めん」というか「合わない」と感じた
”厳密かつ公理的”というキーワード。これが、未来の数学でも最重要。彼らはそう思って、「現代的な教科書」の決定版を書こうとしたのだろうと思うのだ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8B%E3%82%B3%E3%83%A9%E3%83%BB%E3%83%96%E3%83%AB%E3%83%90%E3%82%AD
ブルバキの主な業績は、7000ページ以上に及ぶ『数学原論』(Elements de mathematique) の執筆である。
元は微分積分学の現代的な教科書を書くのが彼らの目的だったが、作業が中途で肥大化し、その目的は捨て去られた。
最終的には集合論の上に現代数学を厳密かつ公理的に打ち立てることにその目標は向けられる。
定年
一説には、年齢を重ねたメンバーに対するテストとして、論理的には正しいが数学的には何の面白みもない「新理論」の話をもちかけ、「面白くない」と判断できないようであれば定年とする、という了解があった、という。
437: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/08/02(日) 20:15:03.17 ID:RNEBrpg2(12/12) AAS
>>436 つづき
一方で、２０世紀後半から２１世紀にはっきりしてきたこと
例えば、ゲーデルの不完全性定理＝集合論と厳密性と公理だけでは到達できない世界があるよと（下記）
人を取り巻く物理的な世界（素粒子論、超弦理論、ブラックホール理論など）と、人の思考（それは素朴な集合論を超えている・・）など、これらはブルバキの想定範囲を超えているということがはっきりしてきた２１世紀だと思うよ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%87%E3%83%AB%E3%81%AE%E4%B8%8D%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%80%A7%E5%AE%9A%E7%90%86#.E3.81.9D.E3.81.AE.E5.BD.B1.E9.9F.BF.E3.83.BB.E5.BF.9C.E7.94.A8
ゲーデルの不完全性定理
ゲーデルとポール・コーエンの仕事を合わせて、決定不能命題の確かな実例が得られた。
連続体仮説はZFC（集合論における標準的な公理系）の下では証明も否定の証明もできない。
また、選択公理もZF（ZFCに含まれる公理から選択公理を除いたもの）では証明も否定の証明もできない。
これらの結果は不完全性定理を必要としない。1940年、ゲーデルはこれらの命題が何れも ZF または ZFC 集合論では否定を証明できないことを証明した。
1960年代、コーエンはこれらがいずれも ZF から証明できず、また連続体仮説が ZFC から証明できないことを証明した。
1973年、群論におけるホワイトヘッドの問題（英語版）が標準的な集合論では決定不能であることが示された。
計算機科学で応用される Kruskal の木定理（英語版）はペアノ算術では決定不能だが集合論では証明できる。
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