[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13 [転載禁止]©2ch.net (654ﾚｽ)
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650(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/06/20(土) 06:55:03.33 ID:w8s6oXPV(2/5) AAS
>>643
どうも。スレ主です。
ピカール・ヴェッシオ理論は、このスレでも何回か出た。初出は>>649みたいだね
>体だと、拡大体や中間体、部分体という用語はあるのに、
>群だと、部分群はあっても、拡大群や中間群という用語はないのな。
>環も同じ。あるのは部分環だけ。
確かに。ただ、環はよく知らないが、有限群論では拡大の概念はあったような記憶がある
中心拡大だったっけ？・・と、これかな？
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4%E3%81%AE%E6%8B%A1%E5%A4%A7
抜粋
群の拡大
数学において、群の拡大（ぐん-の-かくだい、英: group extension）は、一般に特定の正規部分群と剰余群を使って群を記述することを意味する。Q および N をふたつの群とするとき、G が N による Q の拡大 (extension) であるとは短完全列
1→ N→ G→ Q→ 1
が存在することを言う。G が N による Q の拡大ならば G は群であり、N は G の正規部分群で剰余群 G/N は群 Q に同型となる。群の拡大は、Q と N が既知の群であるとき、群 G の性質を決定できるかという拡大の問題 (extension problem)の文脈で現れる。
部分群 N が群 G の中心に含まれるような拡大は、中心拡大 (central extension)と呼ばれる。
拡大問題
群 H に対してどのような群 G が H の拡大として得られるかという問いは拡大の問題と呼ばれ、19世紀の後半から深く研究がなされてきた。
研究の動機としては、有限群の組成列が部分群の列 {Ai} で各 Ai+1 が Ai のある単純群による拡大であることが考えられる。
有限単純群の分類により、有限単純群については完全に判っているので、拡大問題が解決されれば一般に任意の有限群の構成と分類についての十分な情報が得られるということになる。
拡大の分類
拡大問題を解決するというのは、H の K による拡大を全て分類すること、あるいはもっと実際的にいえば、そのような拡大全てをもっと判り易くて計算し易い数学的対象を使って表現することをいう。
一般に拡大問題は非常に困難な問題で、他に条件を付け加えてやらないと意味のある拡大の分類というものは殆ど得られない。
以下略
651(1): １３２人目の素数さん [sage] 2015/06/20(土) 07:36:35.00 ID:FRrjgsd3(1) AAS
>>650
いや、私がいっていたのは、相対的な意味での用語のお話だよ。
拡大体や中間体というのは、有理数体QやQの拡大体Q(√2)、実数体Rを考えたとき、
包含関係はQ⊂Q(√2)⊂Rで、RやQ(√2)はQの拡大体、Q(√2)は体の拡大Q(√2)/Qの中間体というだろ。
このとき、RやQ(√2)は環や群でもあるから、RやQ(√2)はQの拡大群とか
Q(√2)は拡大Q(√2)/Qの中間群とかいっていい気がするんだよね。
そうやって、相対的な意味での用語を考えたら、例が既に存在する。
653: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/06/20(土) 07:48:11.26 ID:w8s6oXPV(4/5) AAS
>>651
どうも。スレ主です。
ID:SlAs+kqN さんですね
>いや、私がいっていたのは、相対的な意味での用語のお話だよ。
うん、分かってますよ。”拡大”は、分野を超えた数学一般の概念だから。単純に”中心拡大”を思い出しただけ。有限単純群の分類で、”中心”的役割を果たしたと
ただ、>>650の記事を見ると、拡大群という概念を作ることは難しいみたいです（well-definedにならない？）
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