[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13 [転載禁止]©2ch.net (654ﾚｽ)
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632(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/06/14(日) 06:46:40.74 ID:Vl116sFU(4/12) AAS
>>631 つづき
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86
(抜粋)
ガロア理論の基本定理(fundamental theorem of Galois theory)は、体の拡大の構造を記述した結果である。
定理の最も基本的な形は、有限次ガロア拡大である体の拡大 E/F が与えられると、1:1の対応が中間体とガロア群の部分群の間に存在する。
（中間体とは、F ⊆ K ⊆ E を満たす体のことを言う、それらを E/F の部分拡大と言う。）
証明
基本定理の証明は、自明なことではない。通常の扱いで最も重要な点は、エミール・アルティン（ドイツ語版、英語版）(Emil Artin)のむしろ微妙でデリケートな結果であり、与えられた自己同型群により固定された中間体の次元を制御することができる。
ガロア拡大 K/F の自己同型群は、体 K 上の函数として線型独立である。この事実は、より一般的な事実である指標の線型独立性から従う。
対応の性質
体 EH は F の正規拡大であること（同じことであるが分離拡大の部分拡大は分離的であるのでガロア拡大である）と、H が Gal(E/F) の正規部分群であることとは同値である。
この場合は、Gal(E/F) の元の EH への制限は、Gal(EH/F) と商群 Gal(E/F)/H の間の群同型を引き起こす。
応用
この定理は拡大体 E/F の中間体の分類という難しく聞こえる問題を、ある有限群の部分群を列挙せよというより扱い易い問題へ変換している。
例えば、一般の五次方程式は冪根によって解けない（アーベル-ルフィニの定理を参照）ことを証明するため、
まず最初に、根基による拡大（英語版）(radical extension)（α を F のある元の n 乗根としたときに F(α) となるような拡大）により問題を言い換え、この基本定理を使い、根基拡大の問題を直接対応できる群の問題へ変換する。
クンマー理論と類体論のような理論は、この基本定理から予想することができる。
633: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/06/14(日) 07:19:24.47 ID:Vl116sFU(5/12) AAS
>>632 つづき
ガロア理論の基本定理（ガロア対応）
”体の分離かつ正規拡大（分解体(splitting field)）” VS ”H が Gal(E/F) の正規部分群”
正規の定義は、体と群で定義が違う。が、どちらも、”normal ”を使う
突然ですが和英。正規の訳にもいろいろあるが
http://ejje.weblio.jp/content/%E6%AD%A3%E8%A6%8F
正規 JMdict
対訳 regular; normal; formal; legal; established; legitimate
突然ですが英和。要は、”normal ”は日常語で、「正常な」という意味もある
http://ejje.weblio.jp/content/normal
normal 研究社 新英和中辞典 研究社研究社
「〈人が〉正常な発達をしている，ノーマルな.」
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