現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13 [転載禁止]©2ch.net

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260(9): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/05/01(金) 05:07:43.40 ID:kLen/OPb(4/7) AAS
まあ、ＰＤＦを直に読んだ方が分かり易いが、このスレの議論のために引用した
“wild"を、PAUL B. YALE，が使った意味は、上記の通り

264: １３２人目の素数さん [sage] 2015/05/01(金) 06:01:47.76 ID:NPJj25Yb(3/13) AAS
>>260
We shall call any automorphism of C which is not I_C nor complex conjugation a wild automorphism of C.
を訳すと、「ワイルドな」複素数体Cの自己同型写像の定義は、恒等関数I_Cでも複素共役でもないような
任意のCの自己同型写像をCの「ワイルド」な自己同型写像というということか。
Cの他の部分体Fのときも同様な「ワイルドな」自己同型写像の定義が出来ると。参考になった。資料サンクス。
まあ、証明はいつになるか分からんが、もし証明出来たら書く。来週水曜まではチョットムリなんで。行方不明になりま～す。

265: １３２人目の素数さん [sage] 2015/05/01(金) 06:25:31.70 ID:NPJj25Yb(4/13) AAS
>>260
環同型写像(実関数)f：R→Rがf(x)＝xになることを導けば、
fは恒等関数I_Rに等しくなって、任意のx∈Rに対してx＝x±i・0なんだから、
fの複素共役はf自身になって、fはワイルドでなく、Rのワイルドな
自己同型写像は存在しないことになって終了していると思うんだよね。
その環同型写像(実関数)f：R→Rがf(x)＝xになることの証明をすればいいと。
証明の方針は>>243-246、>>248-249でいい筈なんだよね。
まあ、来週水曜までは行方不明になってチョットここに書くことはムリなんで。

266(3): １３２人目の素数さん [sage] 2015/05/01(金) 15:09:46.63 ID:NPJj25Yb(5/13) AAS
>>260
紙に丁寧に書いてはいないが、一応何とか出来たから下に書いておく。確認するけど>>16についての話だよな。
まあ、何れにしろ今日の夜から来週水曜あたりまではチョット暇がなく応対は出来ない。

環同型写像f：R→Rは一価の実関数である。任意のx∈Qに対してf(x)＝xである。
xを有理数変数とする。点a∈Qを任意に取る。ε＞0を任意に取る。εに対して定まる実数δ(ε)＞0をδ(ε)＝εとすれば、
f(a)＝aから、確かに|x－a|＜δ(ε)のとき|f(x)－f(a)|＜εとなる。ε＞0は任意だから、fは点a∈Qで連続である。
点a∈Qは任意だから、f：R→Rは有理直線Q上で連続である。つまり、f：R→RはQにおいて連続である。
ここに、fは環同型写像だから、任意のx、y∈Rに対してf(x＋y)＝f(x)＋f(y)であり、f(0)＝0なることに注意する。

268(4): １３２人目の素数さん [sage] 2015/05/01(金) 15:22:21.58 ID:NPJj25Yb(7/13) AAS
>>260
(>>267の続き)
[小2段]：x＞0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。点x∈(0,+∞)を任意に取る。
{a_k}をxに収束する正の有理数列とする。2つの自然数m、n＞0を任意に取る。
すると、f(n)＝f(1＋…＋1)(1はn個)＝n・f(1)。また、1＝m・(1/m)から同様に、f(1)＝m・f(1/m)であり、f(1/m)＝f(1)/m。
よって、f(n/m)＝n・f(1/m)＝n・(f(1)/m)＝(n/m)・f(1)。
自然数m、n＞0は任意だから、m、n＞0を同時に走らせれば、各k＝1,2,…に対してf(a_k)＝a_k・f(1)。
よって、k→+∞とすれば、a_k→xであって、f(x)＝x・f(1)を得る。点x∈(0,+∞)は任意だから、x＞0のときf(x)＝x・f(1)である。　((1)終)
(2)、x＜0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。
任意のx∈Rに対してf(x＋(－x))＝f(x)＋f(－x)＝0であり、f(－x)＝－f(x)だから、(1)と同様に考えればよい。
(1)、(2)から、確かに任意のx∈Rに対してf(x)＝x・f(1)である。つまり、c＝f(1)とおけば、任意のx∈Rに対してf(x)＝cx。

269(5): １３２人目の素数さん [sage] 2015/05/01(金) 15:26:44.26 ID:NPJj25Yb(8/13) AAS
>>260
(>>268の続き)
[第2段]：cを求めて、任意のx∈Rに対してf(x)＝xなることを示す。
ここで、n≧2なる自然数nを任意に取る。f：R→Rは環同型写像だから、1＝1^nから、f(1)＝(f(1))^n。また、f(1)＝c∈R。
従って、c＝c^nであり、c＝c^nの実根はc＝0またはc＝1であって、これら2つに限る。
n≧2なる自然数nは任意だから、自然数変数nを条件n≧2の下で走らせて考えれば、c＝0またはc＝1である。
ここで、c＝0とすると、f(x)＝0であり、f：R→Rは環同型写像だから実関数f(x)＝0は逆関数を持つ。
これは、定値関数fは逆関数を持たないことに反し矛盾する。よって、c≠0。
一方、c＝1とすると、f(x)＝xであり、fは逆関数を持ち、f：R→Rは確かに環同型写像となり、
満たすべき条件をすべて満たす。故に、c＝1であり、fはf(x)＝xと一意に定まる。

270(3): １３２人目の素数さん [sage] 2015/05/01(金) 15:28:45.88 ID:NPJj25Yb(9/13) AAS
>>260
(>>269の続き)
[第3段]：実関数f(x)＝xがワイルドな自己同型写像でないことを示す。
実関数f(x)＝xについて、fは恒等関数I_Rに等しく、任意のx∈Rに対してx＝x±i・0だから、
fの複素共役はf自身になって、fはワイルドな自己同型ではない。
[第4段]；Rのワイルドな自己同型写像は存在しないことを示す。
任意のx∈Qに対してf(x)＝xなる環同型写像f：R→Rは一意にf(x)＝xと定まる
から、Rのワイルドな自己同型写像は存在しない。

271: １３２人目の素数さん [sage] 2015/05/01(金) 15:35:42.94 ID:NPJj25Yb(10/13) AAS
>>260
まあ、これから少なくとも来週水曜までは行方不明ということで。
明日、明後日の土日は書かないんで。

277(4): １３２人目の素数さん [sage] 2015/05/01(金) 17:03:28.68 ID:NPJj25Yb(12/13) AAS
>>260
見落としがあった。>>269の[第2段]は次のように訂正。正確には
nが奇数のときとnが偶数のときとで場合分けをする必要がある。

[第2段]：cを求めて、任意のx∈Rに対してf(x)＝xなることを示す。
ここで、n≧2なる自然数nを任意に取る。f：R→Rは環同型写像だから、1＝1^nから、f(1)＝(f(1))^n。また、f(1)＝c∈R。
従って、c＝c^n。nが奇数のときc＝c^nの実根はc＝0またはc＝1であって、これら2つに限る。
nが偶数のときc＝c^nの実根はc＝0またはc＝±1であって、これら3つに限る。
n≧2なる自然数nは任意だから、自然数変数nを条件n≧2の下で走らせて考えれば、c＝0またはc＝±1である。
ここで、c＝0とすると、f(x)＝0であり、f：R→Rは環同型写像だから実関数f(x)＝0は逆関数を持つ。
これは、定値関数fは逆関数を持たないことに反し矛盾する。よって、c≠0。
次にc＝－1とすると、f(x)＝－xである。よって、f(1)＝－1。
f：R→Rは環同型写像だから、nをn≧2なる任意の偶数とすると、(f(1))^n＝f(1)が成り立ち、
よって(f(1))^n＝1から、1＝－1が成り立つことになるが、これは1≠－1に反し矛盾する。よって、c≠－1。
一方、c＝1とすると、f(x)＝xであり、fは逆関数を持ち、f：R→Rは確かに環同型写像となり、
満たすべき条件をすべて満たす。故に、c＝1であり、fはf(x)＝xと一意に定まる。

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