[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13 [転載禁止]©2ch.net (654ﾚｽ)
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169(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/25(土) 04:27:44.51 ID:1rI4QMvS(1/27) AAS
>>165
どうも。スレ主です。
>ただ、「他の証明法もありそう」は、取り下げない。もう少し考えてみるよ
難しかった。自分だけでは証明は思いつかなかった
検索すると、下記があった
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1213383482
2007/11/8 実数体Ｒの自己同型写像は恒等写像のみであることを示せ。
ベストアンサーに選ばれた回答 median_modeさん 編集あり2007/11/9
自己同型写像ならば恒等写像であることは簡単に言えると思います
恒等写像ならば自己同系写像であることは、Rが実数体なので演算ができることを使って
線形写像であることを言えばいいと思います。
fが実数体Rの自己同型写像ならば
写像じたいも加法乗法でとじているので
f(ab)=f(a)f(b)
fはRの線形写像でもあるので
f(ab)=af(b)
⇒f(a)=a 恒等写像である
ｆが実数体Rの恒等写像ならば
f(a)=aなので
R→Rの全単射であり
f(a+b)=a+b=f(a)+f(b)
f(ab)=ab=ｆ(a)f(b)
なので自己同型写像である
というかんじじゃないでしょうか
(続く)
171(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/25(土) 04:41:12.31 ID:1rI4QMvS(3/27) AAS
つづき
>>153
１．この証明で、「（φ(s) + s）/2 < a < s となる有理数a が存在する．」としているが、（φ(s) + s）/2 は証明に使っていないね
２．あと、「c > 0 なのでc はある0 でない実数b を用いてc = b^2 と表される．よってφ(c) = φ(b^2) = φ(b)^2 > 0」の部分
合わせて、>>169-170にあるように「Rが実数体なので演算ができることを使って線形写像であることを言えばいい」
という証明の筋も、教養として覚えておく方が良いと思うよ
174: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/25(土) 05:24:53.56 ID:1rI4QMvS(6/27) AAS
ともかく訂正
合わせて、>>169-170にあるように「Rが実数体なので演算ができることを使って線形写像であることを言えばいい」
↓
合わせて、>>169-170>>173にあるように「Rが実数体なので演算ができることを使って順序を保つ線形写像であることを言えばいい」
かな？ 「連続」は使わなくても良いか
188(5): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/25(土) 19:15:50.55 ID:1rI4QMvS(18/27) AAS
>>169 関連
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1139979586
Yahoo!知恵袋
jmt_maj_aさん 2010/4/26
実数体Rの自己同型は恒等写像に限られる事を示せ。
(ヒント:σを自己同型とする、x＞0ならばx^σ＞0が成り立つ。 それと有理数のちょうみつ性を用いよ）
ベストアンサー以外の回答 dezaike999さん 2010/4/26
1=1*1より、σ(1)=σ(1)*σ(1)
σ(1)≠0だから、σ(1)=1
これより、σは体同型なので、有理数体Ｑ上ではid.である
x>0とする。
x=y^2となるｙがあるから、σ(x)=σ(y)^2>0
従って、x>y→x-y>0→σ(x-y)>0→σ(x)>σ(ｙ)→σは順序を変えない
実数αに対して、αに収束する有理点列{An}をとる
∀ε>0∃N>0∀n>Nで -ε<(An-α)<ε
有理数の稠密性より、-ε<r<(An-α)<r'<εなる有理数r,r'がある
σは順序を変えず、Ｑ上ではid.だから、
r<σ(An-α)=An-σ(α）<r'
∴-ε<An-σ(α）<ε
これより、σ(α）=limAn=α
ゆえに、Ｒの自己同型はid.のみである
190(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/25(土) 20:13:59.28 ID:1rI4QMvS(20/27) AAS
>>189 つづき
私、スレ主の証明
１．（記号説明：基本は>>153を踏襲する。）
恒等写像でない同型φ が存在すると仮定する．恒等写像ではないのでφ(s) ≠ s となるs ∈ Rが存在する．
φ(s) > s ならφ(−s) = −φ(s) < −s なので，必要なら−s をとることによってφ(s) < sとできる．
有理数体Q は実数体R の中で稠密である．ゆえに φ(s) < a < sとなる有理数a が存在する．
２．同型φは、有理数を動かさないこと、また、線形性>>169（即ち環同型写像（>>16）の性質）は、既知とする
３．同型φは、任意の正の数x∈Rに対し、符合を変えない。即ち0<x→0<φ(x) ※
∵√x＝y で、x＝y^2→φ(x)＝φ(y)・φ(y)>0 ※(※の部分で、別の実数の性質、例えば>>188の収束する有理点列{An}を使う手もある)
４．φ(s) < a < sで、各辺に−aを加えて、φ(s)−a < 0 < s−a となる
５．φ(s−a) ＝φ(s)−a に注意すると、４の後半の不等式は３に反する。（φが(s−a) の符合を変えている！）
６．従って、同型φは恒等写像で無ければならない。
（証明おわり）
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