[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13 [転載禁止]©2ch.net (654ﾚｽ)
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150(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/18(土) 13:40:28.04 ID:LskGPWAB(14/24) AAS
>>145-146
どうも。スレ主です。
主題者さんありがとう
おっちゃん、９０点かすごいね
スレ主さん0点は結構だ。体の無限次元拡大が分かってないんだろうね
>結局スレ主は>>125-127のどこに納得いかないんだ。
いや、単に分かってないんだろうと思うけど
>R/Qはガロア拡大でないから、card(AutQ(R))と[R:Q]の間には何の繋がりも無いにもかかわらず
じゃ、問題を変えて、C/Qはガロア拡大か否か？ C/Rの拡大次数は２で良いのか？ とすれば、card(AutQ(C))＝２で良いのかい？
おっと、これ（下記）か？
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%BE%A4
ガロア群
・Gal(C/R)は恒等写像と複素共役写像の2つの元からなる群[1]。
・Aut(R/Q)は自明な群であることが知られている。実際、Rの自己同型は順序を保つことが示せるので、必然的に恒等写像となる。
・Aut(C/Q) は無限群になることが知られている。
（引用おわり）
「Rの自己同型は順序を保つことが示せるので、必然的に恒等写像となる」か
Aut(C/Q) は無限群で、card(AutQ(C))＞アレフ0だな
152(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/18(土) 16:56:50.41 ID:LskGPWAB(16/24) AAS
>>150 関連
"体の自己同型は、体から自分自身への全単射な環準同型である。有理数 Q と実数 R の場合には、非自明な体自己同型は存在しない。
R が非自明な体自己同型を持つとすると、R の全体への拡大ができない（なぜならば、R は平方根を持つ数の性質を保たなくなるからであるからである）。"(下記)
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E5%B7%B1%E5%90%8C%E5%9E%8B
数学において自己同型(automorphism)とは、数学的対象から自分自身への同型写像のことを言う。
つまり構造を保ちながら対象をそれ自身へと写像する方法のことで、ある意味ではその対象の対称性を表わしていると言える。
対象の全ての自己同型の集合は群を成し、自己同型群(automorphism group)と呼ばれる。大まかにいえば、自己同型は、対象の対称群である。
恒等写像は自明な自己同型(trivial automorphism)と呼ばれることもある。
他の（恒等射ではない）自己同型は非自明な自己同型(nontrivial automorphisms)と呼ばれる。
体の自己同型は、体から自分自身への全単射な環準同型である。有理数 Q と実数 R の場合には、非自明な体自己同型は存在しない。
R が非自明な体自己同型を持つとすると、R の全体への拡大ができない（なぜならば、R は平方根を持つ数の性質を保たなくなるからであるからである）。
複素数 C の場合は、R を R の中へ移す非自明な自己同型は複素共役ただ一つである。
しかし、（選択公理を前提とすると、）無限個（非可算個の）「ワイルド」な自己同型が存在する。[2][3] 体自己同型は体の拡大、特にガロア拡大の理論で重要である。
ガロア拡大 L/K の場合には、K を各元ごとに固定する L の自己同型全体の部分群を拡大のガロア群と呼ぶ。
p-進数の体 Qp は非自明な自己同型を持たない。
154(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/18(土) 17:50:48.06 ID:LskGPWAB(18/24) AAS
>>150>>152-153
これらを総合すると、
１．実数 R の場合には、非自明な体自己同型は存在しない。
２．証明を読む限り、証明には自己同型は順序を保つことと、Q,Rの稠密性が使われている
３．”（なぜならば、R は平方根を持つ数の性質を保たなくなるからであるからである）”>>152は、証明の要点を分かり易く説いたものだろうが、必ずしも平方根に限定されないと思われる。（平方が一番簡単だろうが）
と思います。
155: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/18(土) 17:54:02.38 ID:LskGPWAB(19/24) AAS
>>150 補足
まあ、数学的教養だね、これは
>>16(1)が解けなかったのは、教養が無かっただけ
早くギブアップして良かった。自力では無理だった
164(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/19(日) 09:31:17.48 ID:Fta5hZD3(2/3) AAS
なお、>>150で
・Gal(C/R)は恒等写像と複素共役写像の2つの元からなる群[1]。
・Aut(R/Q)は自明な群であることが知られている。実際、Rの自己同型は順序を保つことが示せるので、必然的に恒等写像となる。
・Aut(C/Q) は無限群になることが知られている。
の３つセットで理解するのが良いと思うんだ
１つだけでは見えないことが３つセットで見える
なぜ、Aut(R/Q)とAut(C/Q) は違うのか？
また、体の拡大次数や代数拡大、超越拡大と合わせて理解することも良いと思うんだよね
体の拡大次数で、R/QとC/Qとは非可算無限なのに、Aut(R/Q)とAut(C/Q) の違いが生まれるのはなぜか？（上記と同じ疑問だが）
そういうことを考えさせられる良い問題だった
ありがとう
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