現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13 [転載禁止]©2ch.net

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36(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/11(土) 00:12:28.02 ID:pLE9DoNh(1/30) AAS
次に>>16問題(1)
card(AutQ(R)) を求めよ。但し、Q,R はそれぞれ有理数体、実数体とする。

解答
１．正直この問題は難しい
２．体の拡大Q→Rを考えることになるが
３．数学の常套手段として、体の拡大Q→C(複素数体)をまず考える。その後、中間の拡大体としてRを考えるのがよさそう
４．結論としては、card(AutQ(R)) は非加算と思うが・・

ねむいのでまた明日

37(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/11(土) 06:20:04.21 ID:pLE9DoNh(2/30) AAS
>>36 つづき

問題(1) >>16を再録しておく
問題
体 L の体 K 上の自己同型写像全体の集合を AutK(L) と書く。
すなわち
AutK(L)={σ|K,L は体、K⊂L、σ:L→L は環同型写像、k∈K⇒σ(k)=k}
である。このとき
(1) card(AutQ(R)) を求めよ。但し、Q,R はそれぞれ有理数体、実数体とする。

１．まず、代数拡大の話から
２．αを代数的数とし、f(x)をその最小多項式（n次）とする（つまりf(α)=0の最低次数の多項式。係数はQ）
３．単項拡大Q(α)を考えると、Q(α)はn次のベクトル空間と考えることができる。拡大次数はn
（αの0次からn-1次の数をベクトル空間の基底にできるという話だったね）
４．だから、L'=Q(α)と書くと、card(AutQ(L')) =n

38(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/11(土) 06:37:23.52 ID:pLE9DoNh(3/30) AAS
>>37 つづき

１．次に、αのガロア拡大を考える。f(x)=0の全ての根(α,α1・・・αn-1)を添加した拡大体Q(α,α1・・・αn-1)の拡大次数は？
２．拡大次数は、L'=Q(α,α1・・・αn-1)と書くと、(ガロア理論から)対応するガロア群Gal(L'/Q)の位数に等しい
３．群Gの位数を|G|と書くと、card(AutQ(L')) =|Gal(L'/Q)|
４．f(x)=0が一般の方程式の場合、|Gal(L'/Q)|=n!(nの階乗)となる

39(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/11(土) 07:09:25.72 ID:pLE9DoNh(4/30) AAS
>>38 つづき

１．次に、代数的数全体からなる集合を考える。これをQ~とする
２．Q~は、可算集合である（カントールが証明したという）
（この話は、前スレ 2chｽﾚ:math に書いたが証明は知らない）
３．補足すると、f(x)=0の次数nを大きくして、n→∞と無限次元ガロア拡大を考えることができる
（この話は、前スレ 2chｽﾚ:math に書いたが正直理解できていない）
（なお、http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~m-mat/TEACH/infinite-Galois.pdf
ガロア理論松本眞平成18 年11 月22 日広島大の「2 無限次ガロア理論」が参考になるだろう）
４．なので、Q~は可算無限次元拡大で、card(AutQ(Q~)) は可算無限
５．Q~⊂C(複素数体)　（なお、Q~はその要素に複素数を含むので集合Rには含まれない。当然だが）

40(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/11(土) 07:40:04.25 ID:pLE9DoNh(5/30) AAS
>>39 つづき

１．>>36のあらすじに戻る。Q→Q~（代数的数全体）→C(複素数体)で
２．Q→Q~は、代数拡大で可算無限次元拡大。Q~→Cは、超越拡大で非可算無限次元拡大のはず・・
３．だから、Q→Cも、超越拡大を含み非可算無限次元拡大のはず・・
４．ところで、R（実数体）→C(複素数体)はご存知2次の拡大で、card(AutR(C)) =2
(∵x^2+1=0の根iをRに添加すればCが得られる)
５．なので、Q→R（実数体）→C(複素数体)で、Q→R（実数体）は非可算無限次元拡大のはず・・
６．で問題は、「Q~→Cが非可算無限次元拡大」を示すところを、どうするのか

41(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/11(土) 08:07:37.66 ID:pLE9DoNh(6/30) AAS
>>40 つづき

１．再録「Q~→Cが非可算無限次元拡大」を示すところを、どうするのか
２．βを超越数とする。当然β^n(nは任意の自然数)は代数的に独立で、当然n→∞も考えられて*)、無限次元拡大
(注*)代数拡大で無限次元ガロア拡大が考えられるとすれば、それをβに適用できるだろう)
３．ところで、超越数の集合は当然非加算ではあるけれども、β,β1,・・・βn,・・・を考えたときにこれらが互いに代数的に独立でないものが含まれる
４．例えば、πとπ^2など。（π^2が超越数であることの証明は略するとして）
５．なので、card(Q~)が加算、card(C)が非加算として、card(AutQ~(C)) 非加算が言えるか？
６．つまりは、加算集合の無限次元ベクトル空間を考えたときに、加算無限次元なら常に加算が言えるか？
（card(AutQ~(C)) 非加算を直接示せれば、上記は不要だが、超越数に対して現代数学はまだ無力*)だから、直接示すのは無理そうだ）
(注*)例えば、前スレ 2chｽﾚ:math に書いたが
”ただ足しただけの π + e すら超越数かどうか分かっていない” http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0 ）

42(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/11(土) 08:36:34.94 ID:pLE9DoNh(7/30) AAS
>>41 つづき

（補足）
「加算集合の無限次元ベクトル空間を考えたときに、加算無限次元なら常に加算が言えるか？」について

１．ここは、Q~が可算集合であるというカントールの証明を意識したものだが
２．加算集合の加算無限次元ベクトル空間が常に加算なら、対偶で、非加算なら加算集合に対しては非加算無限次元ベクトル拡大でなければならないと言える

（本題）
１．>>40で述べたあらすじで、いくつかギャップがある
２．一つは、「Q~→Cは、超越拡大で非可算無限次元拡大」（非可算無限を示すところ）
３．一つは、「Q→R（実数体）→C(複素数体)で、Q→R（実数体）は非可算無限次元拡大（∵R→Cは2次の拡大だから）」（位相を入れないとだめ？）
（∵>>39で、無限次ガロア理論の話が入ったから、位相はどうするんだ？と。そもそも、Q→R（実数体）はガロア拡大じゃないから、不要か？）

ということで、ギブアップ宣言
この二つは、いまの自分の知識と能力を超えている

加算集合の有限次元ベクトル空間が常に加算というのは、集合論に普通にある
例えば、有理数m/nを（m,n）に全単射できて、有理数は加算だとか
数学的帰納法で、２次元をｎ次元に拡大する
だけど、n→∞でどうなるか？　はっきりしない。自力では無理

「Q→R（実数体）→C(複素数体)で、Q→R（実数体）は非可算無限次元拡大（∵R→Cは2次の拡大だから）」は、位相は不要と思う
だが、それを説明する知識と能力がない

43(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/11(土) 08:47:00.39 ID:pLE9DoNh(8/30) AAS
>>42 つづき

ハメル基の話は使えそうなんだよね、おそらく
Qは加算、Rは非加算
ハメル基が取れて、Rはハメル基によるベクトル空間になる
ハメル基は非加算なければならない
よって、Q→Rは非加算無限次元拡大
よって、card(AutQ(R))は非加算
みたいな・・

しかし、この証明をすらすら書けるレベルにはないよね、私は。当然だが

45: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/11(土) 09:02:07.63 ID:pLE9DoNh(9/30) AAS
>>16
出題ありがとう
面白い問題だよね

(2)が(1)のヒントになっているような気がする（>>40のあらすじとしては）
だから、(2)を先にするのが良いのかも

card(AutQ(R)) なんて、普段意識していないが、改めて考えると、いろいろ深いものがある
というか、実数体Rをめぐっては、１９世紀から２０世紀にいろんな数学理論が考えられた
そして、Rの大部分を占める超越数について分かってないから、Rも分かってないんだと

ただ、生活している範囲では、自然数、整数、有理数、代数的数と三角関数に対数関数くらいで間に合っている
それ以上の超越数は、普段お世話にならないから、意識の外なんだね

47: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/11(土) 09:02:57.69 ID:pLE9DoNh(10/30) AAS
>>44
どうも。スレ主です。
一杯書いたんで、どの行だっけ？

48: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/11(土) 09:09:25.88 ID:pLE9DoNh(11/30) AAS
>>46
どうも

まあ、そうなんだけど
なんとなく、世間一般の人（含む数学業界（意識的に数学学会あたり（自然言語で未定義）をこう表現する））たちは、連続体仮説を是としている気がする

私もそうなので（ℵ_0＜cardA＜ℵ_1なる集合Aの存在性を仮定する必要性を世間一般の人が感じていないからと思う。私も同じ）
連続体仮説を是とする前提で、読んで貰えればと思います

49(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/11(土) 09:17:16.74 ID:pLE9DoNh(12/30) AAS
>>42 追加

「Q~は、可算集合である（カントールが証明したという）」も、ギブアップに追加
どうやったんだろうね？
自力では無理（笑い）

51: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/11(土) 10:00:35.91 ID:pLE9DoNh(13/30) AAS
>>41訂正

４．例えば、πとπ^2など。（π^2が超越数であることの証明は略するとして）
　↓
ここは、説明不足
πとπ^2とは、異なる二つの超越数ではあるけれども、Q(α^2)⊂Q(α)になる
一般に二つの超越数β1,β2をとったとき、Q(β1)とQ(β2)との包含関係の有無を考えておく必要がある。これは、より一般の（二つ以上の）n個の拡大でも同じ
だから、ここらの評価をきちんとしないと、「card(Q~)が加算でcard(C)が非加算だから、card(AutQ~(C)) 非加算」とは言えない

52: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/11(土) 10:24:42.63 ID:pLE9DoNh(14/30) AAS
>>50
どうも、説明ありがとう

53(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/11(土) 11:54:55.06 ID:pLE9DoNh(15/30) AAS
>>46
連続体仮説
なぜか The Dark Side of Forcing book_C84.pdf

http://forcing.nagoya/
The Dark Side of Forcing　抜粋
「The Dark Side of Forcing」は、名古屋大学の多元数理科学研究科と情報科学研究科の大学院生が中心となって結成された、数学同人サークルです。

元々は、強制法(Forcing)を、前期はケネス・キューネンの『集合論ー独立性証明への案内』を便りに公理的集合論の側から、後期はソンダース・マクレーンの『Sheaves in Geometry and Logic』を道標にトポス理論の側から、概観してみよう、という勉強会から発生しました。

だから皆さんも、本を初めから終わりまで理解しきろうなんて、堅苦しい気持ちは持たず、気軽にひも解いて欲しいと思っています。

既刊同人誌
http://forcing.nagoya/book_C84.pdf
2013/08/11 The Dark Side of Forcing Vol.1(C84) PDF 倉永崇, 古関恵太, 才川隆文, 淡中圏, 宮崎達也強制法入門、ブラウアーの定理の脱神秘化、Todorcevicのwalkの解説、『数学の認知科学』の批判的書評、思い出話、数学小説

54(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/11(土) 12:33:55.55 ID:pLE9DoNh(16/30) AAS
>>53 抜粋
多元的思い出話淡中圏

その頃多元には，OCaml の開発者のJ． Garrigue 氏がいた．いつから名古屋が「関数型プログラミング言語の聖地」と呼ばれはじめたのか知らないが，代数幾何ではないscheme の使い手がいる数理学科というのも乙なものではある

多元はかつて，「Department of Polymathematics」という奇抜な英語名を名乗っていた頃，本当に「多元的」な研究家を目指して，有象無象の人間をたくさんおびき寄せて，なかなか大変なことになっていたという．心の病を発症してしまった人もいると聞く
それ以外にも，ここですら書けないような面白い話をたくさん聞いたことがあるが，それはまあよい．その後，多元もまともな数学者をちゃんとそろえるようになり（知り合いの熊沢峰夫氏にかかると，たこつぼ派が脱たこつぼ派を追い出した，という話になってしまうが……）
かつてほど，多元的でもなくなった．そんな多元で，異彩を放って「多元的」だったのが，倉永さんで，最初に意識したのは，年度末の成果報告のときに，脳とか認知とか，そういう話をしていたのを見たときだった．
教授陣も，正直どう評価していいのやら，という感じが凄く面白かった．その後，話すようになってみると，物静かなのにメタルのドラマーだし，絵も描くし，とでやはり多元的なお人であった

さて，名大内には，実は他にも数学と関係の深い研究をしているところがある．集合論などを研究しているのは，情報科学研究科の三階だが，二階には科学哲学の戸田山研究室がある
自らもとても良い形式論理学の本を書いている．先ほど，多元と情科に交流がないことを嘆いたが，なんと同じ情科の二階と三階の間にすら，ほとんど交流がないのだ．多元は，多元的になるために建物の設計から交流が盛んになるようにされているため，
一度数学内外の混血は諦めた後でも，数学内部ではあるが，割とジャンル違いの学生でも雑談する環境ができている．
しかし，情科では，研究室単位でメーリングリストが分割されているために，同じ研究科でも，階が違うと何をやっているのか分からなくなってしまう
そのせいで，元カリスマブロガー疑惑のある古関さんもかなり科学哲学系に興味があるのに，私が教えるまでいつどんなイベントがあるか把握していなかったという状況だ．一度多元を通るなんて地理的に見ればどんな無駄なことをしているのかとも思うが

55: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/11(土) 12:44:45.60 ID:pLE9DoNh(17/30) AAS
補足
>>53 強制法(Forcing)は、連続体仮説関連です

>>54 淡中圏はペンネームでしょうか？　淡中忠郎先生、愛媛県生まれか。名大も関係しているのでしょうか？

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B7%A1%E4%B8%AD%E5%BF%A0%E9%83%8E
淡中忠郎（たんなかただお、1908年12月27日 - 1986年10月25日）は日本の数学者。専門は代数学。

愛媛県生まれ。1945年東北帝国大学教授、後に東北学院大学教授を務めた。ポントリャーギン双対性をコンパクト群へ拡張した淡中-クラインの双対定理で著名。

この定理はグロタンディークによる淡中圏の概念へと発展した。

62: １３２人目の素数さん [] 2015/04/11(土) 19:40:17.39 ID:pLE9DoNh(18/30) AAS
age

63: １３２人目の素数さん [] 2015/04/11(土) 19:41:46.74 ID:pLE9DoNh(19/30) AAS
>>56-61
どうも。スレ主です。
出来ないやつほど、言い訳がうまいという
「私は基礎論が出来ません」か？　はっきり言えよ！

64: １３２人目の素数さん [] 2015/04/11(土) 19:42:49.50 ID:pLE9DoNh(20/30) AAS
出来ないやつほど、言い訳がうまいという
「私は問題が解けません」か？　はっきり言えよ！

66: １３２人目の素数さん [] 2015/04/11(土) 19:57:18.38 ID:pLE9DoNh(21/30) AAS
そうか、ID:l5XJwmKZくんね、君は基礎論ができないで、泣いているんだね（笑い）
おれは困らんよ。だが、君は困るんじゃ無いかな（笑い）

67: １３２人目の素数さん [] 2015/04/11(土) 19:58:50.49 ID:pLE9DoNh(22/30) AAS
>>16の出題は良いと思うよ。評価している

69(2): １３２人目の素数さん [] 2015/04/11(土) 20:26:24.53 ID:pLE9DoNh(23/30) AAS
>>50

Q~が可算集合であるという証明が下記にあるね（50とほぼ同じ）
http://giwagiwa314.web.fc2.com/ 20150411
無限集合の濃度の証明
http://giwagiwa314.web.fc2.com/countableset.pdf
以下を証明せよ.
自然数全体の集合をN, 整数全体の集合をZ, 有理数全体の集合をQ, 代数的数全体
の集合をQ, 実数全体の集合をR, 複素数全体の集合をC とするとき,
|N| = |Z| = |Q| = |Q~| < |R| = |C|
が成り立つ.
（抜粋）
(3) |N| =|Q~| を示す.
α∈ Q に対し, fαをαの最小多項式とし, その係数の最小公倍数をかけてできる整式をgαとする.
（以下略）

70: １３２人目の素数さん [] 2015/04/11(土) 20:28:14.36 ID:pLE9DoNh(24/30) AAS
>>68　意味がわからん
運営乙

71: １３２人目の素数さん [] 2015/04/11(土) 20:44:46.38 ID:pLE9DoNh(25/30) AAS
>>69 つづき

50にもあるけど、代数的数αに対する最小多項式を次数とその係数で、整序して自然数との対応を作る
なかなか見事です

73(4): １３２人目の素数さん [] 2015/04/11(土) 21:06:55.04 ID:pLE9DoNh(26/30) AAS
>>42 補足
>加算集合の有限次元ベクトル空間が常に加算というのは、集合論に普通にある
>例えば、有理数m/nを（m,n）に全単射できて、有理数は加算だとか
>数学的帰納法で、２次元をｎ次元に拡大する
>だけど、n→∞でどうなるか？　はっきりしない。自力では無理

名大落合啓之先生は、23と24とにNだという
http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~ochiai/
落合啓之(Hiroyuki OCHIAI)
名古屋大学大学院多元数理科学研究科(基幹数理講座)教授
測度と積分（チェックリスト）(2008. Dec 2) http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~ochiai/checklistLebesgue.pdf
Yes, No で答えましょう。
23. 可算無限個の可算集合の直積集合は可算集合である.
23. N
24. 任意個数の可算集合の直積集合は可算集合である.
24. N
（解答の誤りをお知らせいただけると幸いです。）

74: １３２人目の素数さん [] 2015/04/11(土) 21:17:36.20 ID:pLE9DoNh(27/30) AAS
>>72
ふーん？　だが、このスレで加算非加算の話は、結構出ていたと思う。自然にね
至近では、おっちゃんの例の問題（下記）からだが。これ2015/02/01(日)からだ
いまさら、基礎論でもあるまい

現代数学の系譜11 ガロア理論を読む11 [転載禁止](c)2ch.net
2chｽﾚ:math
498 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2015/02/01(日) 15:26:49.86 ID:f3suQEjt
複素平面Cの乗法群C^{×}＝C-{0}の正規部分群は非可算無限個存在することを示せ。

75(2): １３２人目の素数さん [] 2015/04/11(土) 21:33:55.49 ID:pLE9DoNh(28/30) AAS
>>73
名大落合啓之先生「23. 可算無限個の可算集合の直積集合は可算集合である. 」 N
で、>>39 「Q~は、可算集合である（カントールが証明したという）」
が、Q~は、f(x)=0の次数nを大きくして、n→∞とした無限次元ガロア拡大を含む？
とすると、Q~は、可算集合Qの可算無限次拡大を含むんじゃないのかね？
名大落合啓之先生の23解答と一見合わないだよね。はて

77(2): １３２人目の素数さん [] 2015/04/11(土) 22:51:36.69 ID:pLE9DoNh(29/30) AAS
>>76
説明ありがとう
とすると、>>41「Q~→Cが非可算無限次元拡大」は、直和かね
加算集合の無限次元ベクトル空間を考えたときに、直和なら加算無限次元拡大で常に加算が言えるか？
言えると、対偶から、Cが非加算集合で直和の加算集合Q~に対しては非加算無限次元ベクトル拡大でなければならないと言える

78: １３２人目の素数さん [] 2015/04/11(土) 23:10:01.30 ID:pLE9DoNh(30/30) AAS
>>73

http://www.juen.ac.jp/math/nakagawa/basicmath.pdf
数学基礎演習 – 集合と位相 – 2014 年度後期中川仁（なかがわじん）上越教育大学

命題1.23. X, Y がともに可算集合ならば，直積集合X Y も可算集合である．
例1.18 と命題1.23 より，Z^2 は可算集合である．帰納的にZ^n は可算集合である．
命題1.24 と命題1.23 より，Q^2 は可算集合である．帰納的に，Q^n は可算集合である．

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