[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13 [転載禁止]©2ch.net (654ﾚｽ)
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282(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/05/04(月) 17:41:57.95 ID:jADohwWI(1/10) AAS
>>281
どうも。スレ主です。
ID:G/fDOEPQさんに全面同意だね
ググっただけで、自分では意味もわからん内容を数年コピペするだけで進歩のないが、スレ主を意味することも含めてね
アルティンより、Ｃｏｘをお薦めするよ
本格的な勉強（院を目指す）を考えるなら
和と英（原書）との併読を
http://www.amazon.co.jp/Galois-Theory-Pure-Applied-Mathematics/dp/1118072057
Galois Theory (Pure and Applied Mathematics: A Wiley Series of Texts, Monographs and Tracts) (英語) ハードカバー ? 2012/3/27
David A. Cox (著)
283(5): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/05/04(月) 19:47:04.31 ID:jADohwWI(2/10) AAS
>>282 補足
そういえば、私スレ主が、おっちゃんの主題のおかけで少しレベルアップしたんだ
それが、>>33だ
まず前スレより
2chｽﾚ:math
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む12
517 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2015/03/13(金) 22:32:55.89 ID:09ioS4MW
>>392の問題２
「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か
理由を付して述べよ
「ゼロを除く複素数の成す乗法群」なんて、基礎の基礎。さぞかし簡単でしょう
284(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/05/04(月) 19:52:19.22 ID:jADohwWI(3/10) AAS
>>283 つづき
どうかこの問題にコメントして、ID:G/fDOEPQさまのレベルの高さを示してくださいまし・・（笑い） ＨａＨａＨａ！
285(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/05/04(月) 21:19:14.57 ID:jADohwWI(4/10) AAS
>>283 訂正
おっちゃんの主題のおかけで
↓
おっちゃんの出題のおかけで
（本題）
そういえば、>>258 http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/PaulBYale.pdf
MATHEMATICS MAGAZINE 1966
AUTOMORPHISMS OF THE COMPLEX NUMBERS
PAUL B. YALE，Pomona College
が面白かった。
連休道中ずっと読んでいた・・
" 6. Concluding remarks の
3. As the final comment I mention an additional bit of mathematical folklore.
In [1] it is claimed，without proof or reference to the proof，that the
cardinality of the set of automorphisms of C is 2^(2^ALFo*). I have heard this from other
sources and am convinced that it is true although 1 do not know where the proof may be found.
References
1. R. Baer，Li nearAlgebra and Projective Geometry，Ac ademic Press，Ne w York，19 52，p. 63.
*)ALFo:アレフ・ゼロ http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AC%E3%83%95%E6%95%B0 （アレフが文字化けするので書き換えた） "
286(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/05/04(月) 21:33:02.82 ID:jADohwWI(5/10) AAS
>>285 つづき
”the cardinality of the set of automorphisms of C is 2^(2^ALFo*). ”関連で
超越次数については、>>111-112にあって、「Q 上 C あるいは R の超越次数は連続の濃度である。」（日、英）、”of cardinality reasons, Trg(C:Q)= beth_1 (read "beth one", see Beth number).”（独）が参考になるだろう
287: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/05/04(月) 21:37:24.65 ID:jADohwWI(6/10) AAS
>>286 つづき
”the cardinality of the set of automorphisms of C is 2^(2^ALFo*). ”関連で、1966年当時 PAUL B. YALE，Pomona Collegeは、
”I have heard this from other sources and am convinced that it is true although I do not know where the proof may be found.” だった
いま、2015年。いまでも証明不明だろうか？
288(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/05/04(月) 21:45:28.05 ID:jADohwWI(7/10) AAS
>>278 つづき
関連で、私スレ主も>>283に示したように、おっちゃんの出題をひねって、”連続濃度の”べきの濃度”"とした
”連続濃度の”べきの濃度”"は、普通の数学本では扱われることが少ない
だから結構難問になるのかも・・・
>>283も、”I mention an additional bit of mathematical folklore.”と言ってみたい気もする今日この頃
289: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/05/04(月) 22:12:58.60 ID:jADohwWI(8/10) AAS
PAUL B. YALE，Pomona Collegeさま、もしお元気なら、次もmathematical folkloreに追加願います （＾＾
”Let G is a multiplicative group formed by some complex number without zero,
the cardinality of the set of G is 2^(2^ALFo*).”
*)ALFo: aleph-zero http://en.wikipedia.org/wiki/Aleph_number
290(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/05/04(月) 23:19:30.74 ID:jADohwWI(9/10) AAS
>>285 つづき
http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/PaulBYale.pdf
MATHEMATICS MAGAZINE 1966
AUTOMORPHISMS OF THE COMPLEX NUMBERS
PAUL B. YALE，Pomona College
P138 "A special case of Theorem 5A comprises part of the proof of Theorem 3.
In that proof we showed that the only extensions of IR to R(i) =C send i to ±i.
If we combine Theorems 5A and B we find that any isomorphism with domain
F and range F' can be extended to F(α) unless α is transcendental over F
and there are no complex numbers transcendental over F'.
We shall show at the end of the paper that this "unless" clause is an essential qualification."
に対して
" 6. Concluding remarks の
2. It is not true that any isomorphism between subfields of C can be extended to an automorphism of C.
In particular there are isomorphisms with domain C whose range is properly contained in C.
For example, choose αI,α2,α3,... , a countable set of complex numbers that are algebraically independent over Q.
There is an isomorphism, φ, of Q(α1, α2, ... ) into itself such that φ(αi) =αi+1.
Applying Zorn's lemma to F= {θ|θ is an isomorphism extending φ,range θ ⊂ domain θ, and α1 transcendental over range θ}
leads to a maximal isomorphism, ψ^-1, whose domain is all of C but such that α1 is not in the range.
Note that ψ^-1 is an example of an isomorphism defined on a subfield, F, of C which cannot be extended to F(α1)."
が解答だろう
291(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/05/04(月) 23:27:42.18 ID:jADohwWI(10/10) AAS
>>290 つづき
6. Concluding remarks の2. は、証明を書いているが、これは例外的な記述法
普通は、6. Concluding remarks では証明は書かない、証明を書くならその前だ
”If we combine Theorems 5A and B we find that any isomorphism with domain
F and range F' can be extended to F(α) unless α is transcendental over F
and there are no complex numbers transcendental over F'.
We shall show at the end of the paper that this "unless" clause is an essential qualification."が分かり難い
「αがF上の超越拡大であり、そして、F'上に複素数の超越数が存在しなければ」の否定（unless）?
これと、 6. Concluding remarks の2.の証明との繋がりが、いまいち理解できなかった・・
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