現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13 [転載禁止]©2ch.net

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324(2): １３２人目の素数さん [sage] 2015/05/06(水) 05:53:08.02 ID:iWZualfN(1/7) AAS
>>297
>まあ、こんな不便な板で、こてこて数学の証明を書くこともあるまいというのが、スレ主の持論ではある
これはそうだろうな。書いていて思うんだが、書きにくいし確認しにくいんだわ。
まあ、>>280が指摘してくれた部分だけ次の通り訂正するけどさ。
>＞f(a)＝aから、確かに|x－a|＜δ(ε)のとき|f(x)－f(a)|＜εとなる。
だと、「AのときA」のようにトートロジーになって同じことを書いただけになっているな。

環同型写像f：R→Rを一価の実関数として扱う。任意のx∈Qに対してf(x)＝xである。
xを有理数変数とする。点a∈Qを任意に取る。ε＞0を任意に取る。
すると、有理数の稠密性から、0＜b＜εなる有理数bが存在する。
xは有理数変数であることに着目して、|x－a|＜bなる有理直線Q上の点xを任意に取る。
すると、f(x)＝x、f(a)＝a、b＜εの何れもが同時に成り立つから、|f(x)－f(a)|＜εを得る。
有理直線Q上の点xは条件|x－a|＜bの下で任意だから、
点xを有理直線Q上において条件|x－a|＜bの下で走らせて考えると、
εに対して定まる実数δ(ε)＞0をδ(ε)＝bとすれば、
確かに|x－a|＜δ(ε)のとき|f(x)－f(a)|＜εとなる。
ε＞0は任意だから、fは点a∈Qで連続である。
点a∈Qは任意だから、f：R→Rは有理直線Q上で連続である。
つまり、f：R→RはQにおいて連続である。ここに、fは環同型写像だから、
任意のx、y∈Rに対してf(x＋y)＝f(x)＋f(y)であり、f(0)＝0なることに注意する。

これで問題ないでしょう。他の>>267-270、>>277は、スレ主の意向を尊重し、訂正して書かないことにする。

330(4): １３２人目の素数さん [sage] 2015/05/06(水) 09:32:20.99 ID:iWZualfN(2/7) AAS
>>326
じゃあ、書こうか。>>16を踏襲した上での話でいいよな。

環同型写像f：R→Rを一価の実関数として扱う。任意のx∈Qに対してf(x)＝xである。
xを有理数変数とする。点a∈Qを任意に取る。ε＞0を任意に取る。
すると、有理数の稠密性から、0＜b＜εなる有理数bが存在する。
xは有理数変数であることに着目して、|x－a|＜bなる有理直線Q上の点xを任意に取る。
すると、f(x)＝x、f(a)＝a、b＜εの何れもが同時に成り立つから、|f(x)－f(a)|＜εを得る。
有理直線Q上の点xは条件|x－a|＜bの下で任意だから、
点xを有理直線Q上において条件|x－a|＜bの下で走らせて考えると、
εに対して定まる実数δ(ε)＞0をδ(ε)＝bとすれば、|x－a|＜δ(ε)のとき|f(x)－f(a)|＜εとなる。
ε＞0は任意だから、fは点a∈Qで連続である。点a∈Qは任意だから、f：R→Rは有理直線Q上で連続である。
つまり、f：R→RはQにおいて連続である。以後xは有理数変数ではないとする。ここに、fは環同型写像だから、
任意のx、y∈Rに対してf(x＋y)＝f(x)＋f(y)であり、f(0)＝0なることに注意する。

332(4): １３２人目の素数さん [sage] 2015/05/06(水) 09:37:37.84 ID:iWZualfN(4/7) AAS
>>326
(書き忘れたが>>331は>>330の続きで、以降は>>331の続き)
[小2段]：x＞0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。点x∈(0,+∞)を任意に取る。
{a_k}をxに収束する正の有理数列とする。2つの自然数m、n＞0を任意に取る。
すると、f(n)＝f(1＋…＋1)(1はn個)＝n・f(1)。また、1＝m・(1/m)から同様に、f(1)＝m・f(1/m)であり、f(1/m)＝f(1)/m。
よって、f(n/m)＝n・f(1/m)＝n・(f(1)/m)＝(n/m)・f(1)。
自然数m、n＞0は任意だから、m、n＞0を同時に走らせれば、各k＝1,2,…に対してf(a_k)＝a_k・f(1)。
よって、k→+∞とすれば、a_k→xであって、f(x)＝x・f(1)を得る。
点x∈(0,+∞)は任意だから、x＞0のときf(x)＝x・f(1)である。　((1)終)
(2)、x＜0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。
任意のx∈Rに対してf(x＋(－x))＝f(x)＋f(－x)＝0であり、f(－x)＝－f(x)だから、(1)と同様に考えればよい。
(1)、(2)から、確かに任意のx∈Rに対してf(x)＝x・f(1)である。つまり、c＝f(1)とおけば、任意のx∈Rに対してf(x)＝cx。

333(4): １３２人目の素数さん [sage] 2015/05/06(水) 09:39:25.40 ID:iWZualfN(5/7) AAS
>>326
(>>332の続き)
[第2段]：cを求めて、任意のx∈Rに対してf(x)＝xなることを示す。
ここで、n≧2なる自然数nを任意に取る。f：R→Rは環同型写像だから、
1＝1^nから、f(1)＝(f(1))^n。また、f(1)＝c∈R。従って、c＝c^nを得る。
ここで、nについて場合分けをする。
Case1)：nが3以上の奇数のとき。n－1は2以上の偶数なることに注意すると、
c＝c^nの実根はc＝0またはc＝±1であって、これら3つに限る。
ここで、cが取り得る値c＝0、c＝±1が条件を満たすか否かを調べる。
Case1-1)：c＝0とする。f(x)＝0であり、f：R→Rは環同型写像だから実関数f(x)＝0は逆関数を持つ。
これは、定値関数fは逆関数を持たないことに反し矛盾する。よって、c≠0。
Case1-2)：次にc＝－1とする。すると、f(x)＝－xである。よって、f(1)＝－1。
f：R→Rは環同型写像だから、m≧2なる偶数mを任意に取ると、(f(1))^m＝f(1)が成り立ち、
よって(f(1))^m＝1から、1＝－1が成り立つことになるが、これは1≠－1に反し矛盾する。よって、c≠－1。
Case1-3)：一方、c＝1とする。すると、f(x)＝xであり、fは逆関数を持ち、f：R→Rは
確かに環同型写像となり、満たすべき条件をすべて満たす。故に、c＝1であり、fはf(x)＝xと求まる。
Case1-1～Case1-3から、nが3以上の奇数のとき、c＝1でありfはf(x)＝xと求まる。
Case2)：nが正の偶数のとき。n－1は正の奇数なることに注意すると、
c＝c^nの実根はc＝0またはc＝1であって、これら2つに限る。
ここで、cが取り得る値c＝0、c＝1が条件を満たすか否かを調べる。
Case2-1)：c＝0とする。Case1-1と同様に考えると、c≠0。
Case2-2)：c＝1とする。Case1-3と同様に考えると、f：R→Rは
満たすべき条件を満たし、c＝1であり、fはf(x)＝xと求まる。
Case2-1、Case2-2から、nが正の偶数のとき、c＝1でありfはf(x)＝xと求まる。
Case1、2から、c＝1であり、fはf(x)＝xと一意に求まる。
n≧2なる自然数nは任意だから、自然数変数nを条件n≧2の下で走らせて考えれば、fはf(x)＝xと一意に定まる。

334(3): １３２人目の素数さん [sage] 2015/05/06(水) 09:41:17.06 ID:iWZualfN(6/7) AAS
>>326
(>>333の続き)
[第3段]：実関数f(x)＝xがワイルドな自己同型写像でないことを示す。
実関数f(x)＝xについて、fは恒等関数I_Rに等しく、任意のx∈Rに対してx＝x±i・0だから、
fの複素共役はf自身になって、fはワイルドな自己同型ではない。
[第4段]：>16についての話の意味で、Rのワイルドな自己同型写像は存在しないことを示す。
任意のx∈Qに対してf(x)＝xなる環同型写像f：R→Rは一意にf(x)＝xと定まる
から、Rのワイルドな自己同型写像は存在しない。

349: １３２人目の素数さん [sage] 2015/05/06(水) 12:25:08.81 ID:iWZualfN(7/7) AAS
>>340
>>343
>>347
じゃあ、証明の訂正は、今度もし出来たら書くことにする。
悪いが、今はチョット出来ない。指摘サンクス。

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