[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13 [転載禁止]©2ch.net (654ﾚｽ)
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605(6): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/06/13(土) 05:06:22.01 ID:hlNpoH8z(1/14) AAS
すべての実数xに対して定義された関数f(x)で，必ずしも連続とは限らな
いものを考える.いま， f(x)がさらに次の性質を持つとする.
f(x+y)=f(x)+ f(y)， f(xy) = f(x)f(y)， f(1) = 1.
このとき，以下を示せ.
(1)すべての有理数x に対してf(x)= xである.
(2)実数x,yについてx≦yならばf(x)≦f(y)である.
(3)すべての実数x に対してf(x)= xである.
(配点率50%)
606(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/06/13(土) 05:12:16.76 ID:hlNpoH8z(2/14) AAS
>>605
河合塾/ 2015年度国公立大二次試験・私立大入試解答速報:
大阪大学(前期) 理学部 数学（挑戦枠）問題１ です
607(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/06/13(土) 05:15:05.55 ID:hlNpoH8z(3/14) AAS
>>606
URL
http://kaisoku.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/15/ha1.html
PDF
http://kaisoku.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/15/ha1-22p.pdf
608(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/06/13(土) 05:19:55.74 ID:hlNpoH8z(4/14) AAS
>>605の関連
>>16 >>125 >>156 など
609(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/06/13(土) 05:22:14.72 ID:hlNpoH8z(5/14) AAS
>>605の解答例は、>>607の河合塾や駿台も公表している
610(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/06/13(土) 05:28:35.54 ID:hlNpoH8z(6/14) AAS
>>605
http://www.tokyo-s.jp/products/d_gekkan/
「大学への数学」 6月号 にも大阪大学(前期) 理学部 数学（挑戦枠）問題と解説がある
611: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/06/13(土) 05:35:10.07 ID:hlNpoH8z(7/14) AAS
>>604
どうも。スレ主です。
わざわざありがとう
実は、>>605-610 をまとめて１回で投稿しようとしたら、NGワードだと規制にひっかかった
それで、試しに”age”で投稿可能なことだけを確認した
今日、NGワード規制の場所が分からないので、分割して投稿したら、全部OKだった
612: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/06/13(土) 05:44:18.78 ID:hlNpoH8z(8/14) AAS
>>605 関連
挑戦枠入試か、知らなかったね
http://www.sci.osaka-u.ac.jp/ja/challenge_ad/
挑戦枠入試
平成25年度から学部課程の入学者選抜において、与えられた知識を吸収することだけに満足せず、自分自身の頭脳でどこまでも粘り強く考察して真理を探究・発信することを熱望する人を受け入れるために前期日程に「挑戦枠」を導入しました。
http://www-het.phys.sci.osaka-u.ac.jp/~hosotani/education.html
挑戦枠入試とは
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1295503242
2012/10/1121:40:29
大阪大学理学部の入試について
２５年度から挑戦枠というのが設けられるのですが、
このしくみがよくわかりません。
http://benesse.jp/blog/20110804/p2.html
≪超優秀≫な受験生に限定!? 阪大「挑戦枠」「AO」の背景2011/08/04
筆者：渡辺敦司
大阪大学が2013（平成25）年度から導入する新しい入試方法が、ちょっとした話題を集めています。
理学部で「挑戦枠」と「研究奨励AO入試」を設けるとともに、工学部・基礎工学部と合同で「国際科学オリンピックAO入試」を行うといいます。
しかも、こうした入試は、阪大にとどまらず、他大学にも広がっていくことが予想されます。どういうことでしょうか。
621(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/06/13(土) 20:58:08.80 ID:hlNpoH8z(9/14) AAS
http://www.sci.osaka-u.ac.jp/ja/challenge_ad/
http://www.sci.osaka-u.ac.jp/ja/wp-content/uploads/2014/06/%E5%B0%82%E9%96%80%E6%95%B0%E5%AD%A6.pdf
平成26年度入試 大阪大学(前期) 理学部 数学（挑戦枠）
問題１
開区間(a,b)で定義された関数f(x)の原始関数のlつをF(x)とするとき，
任意の原始関数は定数Cを用いて
F(x) + C
と表すことができる.このことを平均値の定理を用いて証明せよ.
(配点率50%)
問題２（省略）
おそらく、ゼータ関数の変形：整数の逆数和→素数の逆数の例の式の積
を使った問題だろう
623(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/06/13(土) 21:22:25.37 ID:hlNpoH8z(10/14) AAS
http://www.sci.osaka-u.ac.jp/ja/challenge_ad/
http://www.sci.osaka-u.ac.jp/ja/wp-content/uploads/2014/06/%E5%B0%82%E9%96%80%E6%95%B0%E5%AD%A6.pdf
平成26年度入試 大阪大学(前期) 理学部 数学（挑戦枠）
問題１
有理数は，整数，有限峨，循環峨のいずれかで表される.乙れを証明せよ
(配点率50%)
問題２（省略）下記参照
http://examoonist.web.fc2.com/legendexam.html#2013osaka
2013年 大阪大学 理学部 挑戦枠 専門数学 先人達が歩んだ円周率の歴史を辿る～ルドルフの偉業～ 伝説の入試問題（数学）＠受験の月
624(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/06/13(土) 21:39:16.67 ID:hlNpoH8z(11/14) AAS
>>606
２番は省略したけど、スターリングの公式の誘導らしいね
http://wankora.blog31.fc2.com/blog-entry-4028.html
わんこら日記 液晶に傷がいったら、スクリーンショットに毎回傷が写るやろ？: 【2015/03/04 03:09】
(抜粋)
二番は
言うても高校の範囲をほとんど逸脱してはない問題やな
これも、ウォリス積の証明でやったことあるわ
0≦x≦π/2で0≦sinx≦1やから
・・・
二番については言うても高校の範囲を全然超えてないし難しい数学Ⅲやっていれば対応できると思う
スターリングの公式とか言うよりも、そもそも誘導にしたがって答えなあかんしな。
数学Ⅲをハイレベルめの問題集やりまくったらええやろな。
625: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/06/13(土) 21:42:33.90 ID:hlNpoH8z(12/14) AAS
訂正スマソ
>>623
平成26年度入試
↓
平成25年度入試
補足
>>624 この２番は2015年分です
626: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/06/13(土) 21:54:33.19 ID:hlNpoH8z(13/14) AAS
>>620>>622
どうも。スレ主です。
今日は、昼間出かけていたもので、失礼しました
>>619
>有名な定理を無証明で使ってよいなら、特に難しい問題とも思えない
そういう解法では、得点はあまり貰えないんだろうね、おそらく
>>617-618
阪大に奇形を飼い続ける度量があるとは思えない；2013年から始まった試みがうまく行っているかどうかだよね
>>614-616
私には、自力で解答できる力は無いですが
616で標数が０の場合で自己解決とありますが、614では標数が０の場合だけで良かったの？ ちょっと不整合という気が・・・
>>613
まあ、いまさら入試受けるつもりないけど、>>16の出題と解答に関連していると思ったんだよね
628(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/06/13(土) 23:51:43.16 ID:hlNpoH8z(14/14) AAS
>>614-616
外しているかも知れないが
>べき根による拡大体で分解体を含む場合、分解体が基礎体の正規拡大になるって理屈がよくわからないんですが
「分解体が基礎体の正規拡大になる」は、下記によれば正規拡大の定義そのままでは？
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E6%8B%A1%E5%A4%A7
体の代数拡大 L/K は、L が K[X] の多項式の族の分解体(splitting field)であるときに、正規（英: normal）という。ブルバキはそのような拡大を準ガロワ拡大(quasi-Galois extension) と呼んでいる。
他の性質
L を体 K の拡大とすると、
・ L が K の正規拡大で E が中間体（すなわち L ⊃ E ⊃ K）であれば、L は E の正規拡大である。E は K の正規拡大とは限らない。
・ E と F が L に含まれる K の正規拡大であれば、合成体 EF および共通部分 E ∩ F も K の正規拡大である。
（引用おわり）
あと、べき根による拡大体について
アルティンのガロア理論（ガロア対応）を既知とすると
べき根による拡大体で分解体を含む場合、分解体のガロア群がアーベルにならないかな？
べき根拡大は、巡回群で、アーベル群だと（下記）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA%E6%A0%B9
冪根拡大
K を体とし、a ∈ K の任意の 1 つの冪根 α = n√a を添加する拡大 K(α)/K を K の冪根拡大 (radical extension) という。
もし K が 1 の原始 n 乗根を含むなら拡大体 K(α) は二項多項式 x^n ? a の最小分解体となり、この二項多項式は重根を持たないので拡大はガロア拡大となる。
これをクンマー拡大 (Kummer extension) と呼ぶ。クンマー拡大は巡回拡大でその拡大次数は n の約数である。
逆に n の約数 d に対し、拡大次数が d であるような巡回拡大 L/K は、K が 1 の原始 n 乗根を含むという仮定の下で、クンマー拡大である。
このことから、ある方程式が係数に対して四則演算と冪根を添加する操作を有限回繰り返すことで解ける（代数的に可解である）ならば、ガロア群は巡回群のみからなる組成列を持たなければならないことになる。
この性質は、抽象群に対して可解群の概念として定式化される。
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