[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13 [転載禁止]©2ch.net (654ﾚｽ)
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200(6): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/28(火) 22:00:51.12 ID:gRN1Z7RF(1/8) AAS
>>119 の1.^ J. S. Milne, Fields and Galois Theory
>(cf. Exercise A-8 and solution)
これ見落としていた
A-8
(a) Show that every field homomorphism from R to R is bijective.
(b) Prove that C is isomorphic to infinitely many different subfields of itself.
A-8. (SOLUTIONS TO THE EXERCISES)P132
(a) A homomorphism α：R→R acts as the identity map on Z, hence on Q, and it maps positive real numbers to positive real numbers, and therefore preserves the order.
Hence, for each real number a,
{ r ∈ Q | a < r} ＝｛ r ∈ Q | α(a) < r};
which implies that α(a)＝ a.
(b) Choose a transcendence basis A for C over Q. Because it is infinite, there is a bijection
α：A→A' from A onto a proper subset.
Extend α to an isomorphism Q(A)→Q(A'), and
then extend it to an isomorphism C→C' where C' is the algebraic closure of Q(A') in C.
201: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/28(火) 22:16:32.85 ID:gRN1Z7RF(2/8) AAS
>>200
bijectiveは恒等写像とは違うと思う。が、解答は恒等写像・・
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%A8%E5%8D%98%E5%B0%84
数学において、全単射（ぜんたんしゃ）あるいは双射（そうしゃ）(bijective function, bijection) とは、
写像であって、その写像の終域となる集合の任意の元に対し、その元を写像の像とする元が、写像の定義域となる集合に常にただ一つだけ存在するようなもの、すなわち単射かつ全射であるような写像のことを言う。
http://en.wikipedia.org/wiki/Bijection
In mathematics, a bijection (or bijective function or one-to-one correspondence) is a function between the elements of two sets,
where every element of one set is paired with exactly one element of the other set, and every element of the other set is paired with exactly one element of the first set.
There are no unpaired elements. In mathematical terms, a bijective function f: X → Y is a one-to-one (injective) and onto (surjective) mapping of a set X to a set Y.
202: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/28(火) 22:45:20.05 ID:gRN1Z7RF(3/8) AAS
>>200
homomorphism, isomorphic
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%BA%96%E5%90%8C%E5%9E%8B
準同型（じゅんどうけい、homomorphic）とは、複数の対象（おもに代数系）に対して、それらの特定の数学的構造に関する類似性を表す概念で、構造を保つ写像である準同型写像（じゅんどうけいしゃぞう、homomorphism) を持つことを意味する。
構造がまったく同じであることを表すときは、準同型・準同型写像の代わりに同型（どうけい、isomorphic）および同型写像（どうけいしゃぞう、isomorphism）という術語を用いる。
しばしば、準同型写像・同型写像のことを指して単に準同型・同型と呼ぶ。いずれも、「型」の代わりに「形」が用いられることが稀にある。
単射な準同型、全射な準同型はそれぞれ単準同型（たんじゅんどうけい、injective homomorphism, monomorphism）、全準同型（ぜんじゅんどうけい、surjective homomorphism, epimorphism）とも言われる。
203: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/28(火) 22:59:52.87 ID:gRN1Z7RF(4/8) AAS
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%81%92%E7%AD%89%E5%86%99%E5%83%8F
数学における恒等写像（こうとうしゃぞう、英: identity mapping, identity function）、恒等作用素（こうとうさようそ、英: identity operator）、恒等変換（こうとうへんかん、英: identity transformation）は、
その引数として用いたのと同じ値を常にそのまま返すような写像である。
集合論の言葉で言えば、恒等写像は恒等関係（こうとうかんけい、英: identity relationである。
204(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/28(火) 23:01:44.19 ID:gRN1Z7RF(5/8) AAS
bijective→identity mapping の方が適切だろう・・
205(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/28(火) 23:05:06.38 ID:gRN1Z7RF(6/8) AAS
>>200
(b)の方
>then extend it to an isomorphism C→C' where C' is the algebraic closure of Q(A') in C.
これ、Cの中に代数閉包が無数にあると
そんな話を見た記憶があるが・・
はて、どこだっけ？
207: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/28(火) 23:16:41.80 ID:gRN1Z7RF(7/8) AAS
これ参考になるかな？
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1120255271
marble_sagaさん 2008/10/2916:30:30
体Ｌの代数拡大が実数ＲになるようなＬはありますか？
ベストアンサーに選ばれた回答 langping08さん 2008/10/31
略
208(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/28(火) 23:24:04.13 ID:gRN1Z7RF(8/8) AAS
>>204
ども
http://en.wikipedia.org/wiki/Bijection
More mathematical examples and some non-examples
で、”The function f: R → R, f(x) = 2x + 1 is bijective,”だと
一方解答>>200は、”which implies that α(a)＝ a”だ
なので、ちょっと違和感ありなんだ
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