[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13 [転載禁止]©2ch.net (654ﾚｽ)
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385(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/05/10(日) 05:14:42.49 ID:cg233oGG(1/6) AAS
>>382 補足
>f(x)が連続でなければ、任意の開区間(a,b)上でf(x)は非有界でなければいけない。
>より一般的な事実を知りました。
>f(x)が(1)の連続でない解のとき、G={(x,f(x))|x∈R}はR^2で稠密である。
"R^2で稠密"については、"Hamel basis and additive functions GIULIO SCHIMPERNA June 26, 2013">>380にもある
P5 "Theorem 6. If f is a non-linear solution of (1), then the graph of this function
G(f) = {(x, f(x)); x ∈ R}
is dense in R^2.
The proof can be found e.g. in [Her, Theorem 5.4].
Theorems 4 and 6 suggest that well-behaved solutions of (1) are linear and
that non-linear solutions have to be, in some sense, pathological.
[Her] Horst Herrlich. The Axiom of Choice. Springer-Verlag, Berlin, 2006.
Lecture Notes in Mathematics 1876."
f(x)が(1)の連続でない解のとき、任意の開区間(a,b)上でf(x)は非有界、かつG={(x,f(x))|x∈R}はR^2で稠密である、という
f は Lebesgue 可測でないとも>>374
想像を絶するpathological振りですね>>373
では
386(5): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/05/10(日) 16:23:43.06 ID:cg233oGG(2/6) AAS
>>385
"R^2で稠密"（dense in R^2）の証明が、wikipediaにあった。以前見てたんだが、何をやっているか分からなかった・・
自分で証明を少し考えて、その後で見ると、「ああ、なるほど・・」だった
つまり、 f(α) = α + δ, δ ≠ 0の無理数を使って、円”an arbitrary circle, centre (x,y), radius r where x,y,r ∈ Q, r > 0, x ≠ y.”で
Cauchy's functional equationを満たす"the point (X, Y) is inside the circle."、X, Yは無理数で円内を具体的に構成できると。∴dense
（文字化けしているかも知れないので、直にwikipediaを見る方が分かりやすいかも）
http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%27s_functional_equation
Properties of other solutions
We prove below that any other solutions must be highly pathological functions.
In particular, we show that any other solution must have the property that its graph y = f(x) is dense in R^2,
i.e. that any disk in the plane (however small) contains a point from the graph.
From this it is easy to prove the various conditions given in the introductory paragraph.
Suppose without loss of generality that f(q) = q ∀ q ∈Q, and f(α) ≠ α for some α ∈R.
Then put f(α) = α + δ, δ ≠ 0.
We now show how to find a point in an arbitrary circle, centre (x,y), radius r where x,y,r ∈ Q, r > 0, x ≠ y.
Put β = (y-x)/{δ} and choose a rational number b≠ 0 close to β with:
| β - b | < r/{2 |δ|}
Then choose a rational number a close to α with:
| α - a | < r/{2|b|}
Now put:
X = x + b (α - a)
Y = f(X)
Then using the functional equation, we get:
Y = f(x + b (α - a))
= x + b f(α) - b f(a)
= y - δ β + b f(α) - b f(a)
= y - δ β + b (α + δ) - b a
= y + b (α - a) - δ (β - b)
Because of our choices above, the point (X, Y) is inside the circle.
387: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/05/10(日) 16:45:43.25 ID:cg233oGG(3/6) AAS
>>386 補足
繰り返しになるが
小平いうところの”定理が述べる数学的現象のメカニズム”>>323を自分なりに解すれば
f(α) = α + δ, δ ≠ 0の無理数があれば、任意の有理数の円centre (x,y), radius r where x,y,r ∈ Q, r > 0, x ≠ y内に、Cauchy's functional equationを満たす無理数を構成できると
だから、"R^2で稠密"（dense in R^2）
分かり易いね・・、分かってしまえばだが（＾＾
（余談だが、δは一つじゃないんだよね。だから、δの個数分だけそういう点がある・・？ いやはや）
389: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/05/10(日) 16:56:49.52 ID:cg233oGG(4/6) AAS
>>386 補足
>without loss of generality that f(q) = q ∀ q ∈Q, and f(α) ≠ α for some α ∈R
ここで１点注意
原文にあるように、普通の（病的でない）関数の解では、 f(q) = f(1)q だ。が、簡単のためにf(1)＝１の場合を証明しているんだ （分かっていると思うが念のため）
390: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/05/10(日) 16:57:32.09 ID:cg233oGG(5/6) AAS
>>388 運営おつ
392(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/05/10(日) 23:35:48.81 ID:cg233oGG(6/6) AAS
運営おつ。２ちゃんねるらしいね。日本のマスオーバーね（笑い）
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