[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13 [転載禁止]©2ch.net (654ﾚｽ)
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629: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/06/14(日) 00:01:38.03 ID:Vl116sFU(1/12) AAS
訂正
>>623
有理数は，整数，有限峨，循環峨のいずれかで表される.乙れを証明せよ
↓
有理数は，整数，有限小数，循環小数のいずれかで表される.これを証明せよ
（補足：PDFのOCR読み取り機能を使ったら、文字化けした。ワードなどのスペルチェックを掛けるべきだった・・）
630(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/06/14(日) 06:13:27.89 ID:Vl116sFU(2/12) AAS
>>628
ご参考
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%A1%E5%9B%9E%E7%BE%A4
巡回群
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E8%A7%A3%E7%BE%A4
（抜粋）
数学、特に群論の分野において、可解群（かかいぐん、英: solvable group）は、群の拡大を用いてアーベル群から構成できる群のことである。
有限群の場合は、同値な定義として「組成列においてすべての商が素数位数の巡回群である」というものもある。
有限群の組成列の長さは有限であり、全ての単純アーベル群は素数位数の巡回群であるため、この定義は上の定義と同値である。
ジョルダン・ヘルダーの定理より、一つの組成列が上記の性質を持つ場合、すべての組成列は同様に上記の性質を持つことが保証される。
多項式のガロア群の場合は、巡回群はある体の上の冪根に対応する。無限群の場合は必ずしも同値ではない。
より一般的に、すべての冪零群は可解群である。特に、有限p-群は冪零群であるため可解群である。
冪零群ではないが可解群である位数の小さい群の一例は、対称群S3である。 実は、位数最小の非アーベル単純群が5次の交代群A5であり、従って位数60未満のすべての群は可解である。
関連する概念
有限生成群に限って議論すれば、群のクラスには以下のような強さの関係がある(右側ほど強い条件である):
巡回群 < アーベル群 < 冪零群 < 超可解群 < 多重巡回群（英語版） < 可解群 < 有限生成群
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%A4%E4%BB%A3%E7%BE%A4
（抜粋）
交代群
群 A4 はクラインの4元群 V を真の正規部分群として持つ。
V は A4 に属するふたつの互換の積として書ける元の全体 {(12)(34), (13)(24), (14)(23)} であり、列 V → A4 → A3 (= C3) は完全である。
ガロワ理論によればこの写像、あるいはこれに対応する S4 → S3 に、四次方程式のフェラリの解法における（三次の）ラグランジュ分解方程式（分解方程式の根によって四次方程式を解くことができる）が対応している。
例外的な同型
小さい位数の交代群とリー型の群（とくに特殊射影線型群）との間には例外的な同型（英語版）と呼ばれる対応が取れるものがある。
A4 は PSL2(3) に同型である。また鏡像異種正六面体の対称性の群とも同型である。
631(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/06/14(日) 06:45:42.40 ID:Vl116sFU(3/12) AAS
>>630 つづき
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96
(抜粋)
ガロア理論によれば、"ガロア拡大" と呼ばれる体の代数拡大について、 拡大の自己同型群の閉部分群と、拡大の中間体との対応関係を記述することができる。
より発展的な定式化
抽象代数学においては、方程式とその分解体という具体的な対象を一旦放棄して、抽象的に定義された体の代数的拡大を取り扱うことになる。
上と同様に拡大体の自己同型と部分群の間の対応がうまくいくように、分離性と正規性とよばれる二つの条件が要求される。
この二つを満たすような拡大は ガロア拡大 (Galois extension) と呼ばれる。
632(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/06/14(日) 06:46:40.74 ID:Vl116sFU(4/12) AAS
>>631 つづき
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86
(抜粋)
ガロア理論の基本定理(fundamental theorem of Galois theory)は、体の拡大の構造を記述した結果である。
定理の最も基本的な形は、有限次ガロア拡大である体の拡大 E/F が与えられると、1:1の対応が中間体とガロア群の部分群の間に存在する。
（中間体とは、F ⊆ K ⊆ E を満たす体のことを言う、それらを E/F の部分拡大と言う。）
証明
基本定理の証明は、自明なことではない。通常の扱いで最も重要な点は、エミール・アルティン（ドイツ語版、英語版）(Emil Artin)のむしろ微妙でデリケートな結果であり、与えられた自己同型群により固定された中間体の次元を制御することができる。
ガロア拡大 K/F の自己同型群は、体 K 上の函数として線型独立である。この事実は、より一般的な事実である指標の線型独立性から従う。
対応の性質
体 EH は F の正規拡大であること（同じことであるが分離拡大の部分拡大は分離的であるのでガロア拡大である）と、H が Gal(E/F) の正規部分群であることとは同値である。
この場合は、Gal(E/F) の元の EH への制限は、Gal(EH/F) と商群 Gal(E/F)/H の間の群同型を引き起こす。
応用
この定理は拡大体 E/F の中間体の分類という難しく聞こえる問題を、ある有限群の部分群を列挙せよというより扱い易い問題へ変換している。
例えば、一般の五次方程式は冪根によって解けない（アーベル-ルフィニの定理を参照）ことを証明するため、
まず最初に、根基による拡大（英語版）(radical extension)（α を F のある元の n 乗根としたときに F(α) となるような拡大）により問題を言い換え、この基本定理を使い、根基拡大の問題を直接対応できる群の問題へ変換する。
クンマー理論と類体論のような理論は、この基本定理から予想することができる。
633: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/06/14(日) 07:19:24.47 ID:Vl116sFU(5/12) AAS
>>632 つづき
ガロア理論の基本定理（ガロア対応）
”体の分離かつ正規拡大（分解体(splitting field)）” VS ”H が Gal(E/F) の正規部分群”
正規の定義は、体と群で定義が違う。が、どちらも、”normal ”を使う
突然ですが和英。正規の訳にもいろいろあるが
http://ejje.weblio.jp/content/%E6%AD%A3%E8%A6%8F
正規 JMdict
対訳 regular; normal; formal; legal; established; legitimate
突然ですが英和。要は、”normal ”は日常語で、「正常な」という意味もある
http://ejje.weblio.jp/content/normal
normal 研究社 新英和中辞典 研究社研究社
「〈人が〉正常な発達をしている，ノーマルな.」
634(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/06/14(日) 07:25:14.04 ID:Vl116sFU(6/12) AAS
>>628
ここに戻る
>べき根による拡大体で分解体を含む場合、分解体が基礎体の正規拡大になるって理屈がよくわからないんですが
”べき根による拡大体について
アルティンのガロア理論（ガロア対応）を既知とすると
べき根による拡大体で分解体を含む場合、分解体のガロア群がアーベルにならないかな？
べき根拡大は、巡回群で、アーベル群だと（下記）”
とコメントした
そのこころは、
べき根による拡大体で分解体を含む場合→べき根拡大は巡回群
という連想ゲーム
そこから、巡回群ならその性質はよく分かる>>630
巡回群の部分群はすべて正規
そこから、「正規拡大になるって理屈」を納得するという線もありだろうと思った次第です
635: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/06/14(日) 07:38:12.28 ID:Vl116sFU(7/12) AAS
>>624 補足
「大学への数学」 6月号 にも大阪大学(前期) 理学部 数学（挑戦枠）問題と解説>>610
にも、スターリングの公式とウォリスの公式についての言及があるね
636(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/06/14(日) 10:14:26.24 ID:Vl116sFU(8/12) AAS
別件の検索でヒットしたものだが
http://www.ritsumei.ac.jp/se/~kra/labo/ARCHIV.pdf
New! Archiv/Re-edited/2015/5/15[PDF] より
最近の言葉
(2008/6/20)
たしかに、後の世代が前の世代のことを全部学習するとなると、呆然とし
てしまう。とくに、若い人にとって現在の最前線に追いつくだけで精一杯と
いうことでまったく大変だ。でも、しばらく様子をみていると、最前線とい
うのは、じつは「細前線」であるということがわかる。つまり大部分が枝葉
末節をやっているのだ。勉強ではなくて自分独自のものをやるのが研究だと
いうわけで、だれかがでっちあげた怪しげな理論をもとにして論文なるもの
を書きまくる。そんなもの全部読まされるとたまったものでない。まあ、な
かには重要なものも含まれているので、どれを捨てて、どれを残すかという
判断基準を定めることは若い世代にはむずかしいところはあるかもしれない。
でも、しっかりと基礎的な勉強をしておけば、ある程度は判断ができるもの
だ。発育ざかりでいいものをしっかり食っておく必要があるのと同じである。
（出所）
http://www.ritsumei.ac.jp/se/~kra/labo/ob.html
OB(OG) の皆様へ2015/5/15
http://www.ritsumei.ac.jp/se/~kra/labo/
立命館大学理工学部物理科学科: 特任教授（総合理工学研究機構所属） 倉辻 比呂志(Kuratsuji Hiroshi)
637: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/06/14(日) 10:21:23.04 ID:Vl116sFU(9/12) AAS
>>636 つづき
マンフォードの言葉
（2008/6/6 記)
マンフォードは数学が、過度の抽象化に陥ることの危険性を警告している。
以下、それを敷衍してみる。
数学（および理論、数理物理においても）において、ある概念が発見されると、研究者はなかば本能的にその概念をできるだけ一般化しようと試みるものだ。
グロタンディークの数学というのはまさにそれを絵に描いたようなものである。
それは極端な抽象化といっていいだろう。
こういう抽象的なものは、とくに若い世代をひきつける。それゆえグロタンは、一定の期間若い数学者の英雄（または教祖）でありえた。
しかし、祭りが去ったようである。まさに、この過度な抽象化が、災いしたといえるかもしれない。
（このことが、グロタンをして失望せしめ、スペインの山奥に隠遁してしまった遠因となったかどうかはわからないが）。
数学といえども具体的対象がある。関数であるか、特定の幾何学的対象、代数的関係など。
このしっかりと具体現象がとなりにいることで、理論が生命を得る。
理論を拡大していくうちに、次第に現象から遊離したところにむかってしまうというのは、仕方がないことかもしれないが、そこが問題である。
ガウスからポアンカレの数学の道をながめてみると、理論は数学的な具体現象を的確に予測してそれを解決するというきわめて健全な営みのうえに築かれてきたのである。
現実の自然現象である物理との健全な関係もつねに保持されてきた。
数学には、歴史上、とってつけたような難問というものがいくつもある。
この難問を解決するために、気の遠くなるような抽象理論を構成していったといえるのであるが。。。。。
そして、そしてそのあげく難問が証明されたのは結構であるが、一般人はおろか数学者のなかでもごく小数の専門家にしか理解できないといういわば亀裂が生じてしまった。
数学は難解な論理をあやつることが知的な優越をもたらすものであるから、こういう状況は当然なのだと開きなおってしまえばそれまでだろうが。
この抽象化という行為は、物理の理論とくに統一理論を標榜する一連の試みにおいてみられる。
これは一種の宗教のようである。
略
640: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/06/14(日) 10:46:27.58 ID:Vl116sFU(10/12) AAS
これも別件の検索でヒットしたものだが
（下記神戸大 高山先生と思います）
http://fe.math.kobe-u.ac.jp/Movies/cm/2007-05-ut-text29-a.pdf
付録E 講義のための補足ノート?東京大学
大学院集中講義
E.1 2007-05-29
Leck1/2.tex
E.1.1 今回の概要と数学の題材
E.1.2 Knoppix/Math のブート(起動方法) の仕方
http://fe.math.kobe-u.ac.jp/Movies/cm/2007-05-ut-text29-b.pdf
http://fe.math.kobe-u.ac.jp/Movies/cm/2007-05-ut-text29-c.pdf
http://park.itc.u-tokyo.ac.jp/atstat/CREST/kickoffmeeting/hamada241008.pdf
KNOPPIX/Math 紹介 - 東京大学 2008 濱田龍義 （福岡大学理学部/JST-CREST ）
http://fe.math.kobe-u.ac.jp/KnoppixMath-doc/intro_math.pdf
はじめてのKNOPPIX/Math (2009) - 神戸大学 濱田龍義 福岡大学
641: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/06/14(日) 11:13:16.75 ID:Vl116sFU(11/12) AAS
>>638-634
どうも。スレ主です。
”lim_{n→+∞}(b_n)＝√π” この書き方良いかも（本来２行の下添え字のところ）
>2番は、式の形を見たけど、背景知らないと、多分制限時間内になんか解けない。
>(1)が多分1番難しい。
そういえば、 http://kaisoku.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/15/ha1-23a.pdf の解答例を見ると、(1)が長いね
>反対に、大学のテキストでしっかり学習しておくと、発想が得易くなる。
そういうレベルを狙っているのかも
追伸
なお、挑戦枠は、普通の入試も受けて、プラスやってみようという人に挑戦枠なんだ
だから、挑戦枠が解けなくとも普通の入試で入る人も居るはず
642: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/06/14(日) 11:29:24.46 ID:Vl116sFU(12/12) AAS
>>634 補足
>巡回群の部分群はすべて正規
>そこから、「正規拡大になるって理屈」を納得するという線もありだろうと思った次第です
数学は、つまづくところが各人違う。だが、そこでじっくり考える。あるいは、先へ進む、その後戻る。人それぞれ
私のお薦めは、はやく全体像を掴むこと。ガロア理論の基本定理（ガロア対応）：”体の分離かつ正規拡大（分解体(splitting field)）” vs ”H が Gal(E/F) の正規部分群”
体 vs 群の対応をつけるために、エミール・アルティンのむしろ微妙でデリケートな結果がある。つまり、分離性だとか分解性だとか
そして、べき根拡大 vs 巡回群 を先取りする。そうすれば、高い立場で全体を俯瞰できると思うんだよね
そして、さらにガロア理論を広く解釈すれば、下記のようにある数学的対象と、それと対になる良く分かった代数的対象を見つけてくる理論
それが、現代数学の立場で、原ガロア理論（代数方程式の理論）はそのモデルになったと。では
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%90%E8%97%A4%E5%B9%B9%E5%A4%AB_%28%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%80%85%29
ソリトン方程式のモジュライが無限次元グラスマン多様体になるという佐藤-佐藤の定理（夫人と共著）で有名。
この定理は可積分微分方程式に対するガロア理論と見なすことができる。
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