[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13 [転載禁止]©2ch.net (654ﾚｽ)
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322(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/05/06(水) 05:17:03.16 ID:SXg2oFIb(1/21) AAS
>>309 つづき
小平 邦彦 「数学に王道なし」P16
数学基礎論が分からなかったという
”ゲーデルの不完全性定理はどうやらわかったような気がしたが、コーエンのforcingは遂に分からなかった”という
また、分かるが証明をしらないということもあると
例として、1963年のアティアとシンガーの複素多様体のリーマン−ロッホの定理を証明したというニュースを聞いて、複素解析曲面の分類の研究を始めた話がある
証明は知らないが、定理はよくわかっていたと
同様な例として、代数曲面の特異点解消定理をあげている
”証明はしらないけれどもよくわかっている定理であった”と
”特異点解消定理のような最も基本的で証明が非常に長い定理は、実際には証明は知らないけれどもよく分かっている定理として応用される場合が少なくないと思う”
と書かれている
323(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/05/06(水) 05:35:03.14 ID:SXg2oFIb(2/21) AAS
>>322 つづき
小平 邦彦 「数学に王道なし」P17
”定理の理解を深めるには別証明を考えてみるのが有効である”
”別証明は定理が述べる数学的現象のメカニズムの別な見方を示すからである”
と
実数が非加算であることの小平流別証明をP18-20に書いている
それで、実数の加算部分が極めて小さい部分を占めているに過ぎないことが分かるという
自分なりに解説すると、P17からのカントール流の証明は背理法による。
背理法は、おうおう数学的現象のメカニズムが見えない場合がある
小平流別証明は、背理法を使わない証明を考えたので、これが見える形の証明になったのだろう
話をガロア理論に戻すと、ガロア理論は基本背理法ではないから、数学的現象のメカニズムが見える
326(5): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/05/06(水) 08:46:27.01 ID:SXg2oFIb(3/21) AAS
>>324 おっちゃん、どうも。スレ主です。
証明お疲れです
>他の>>267-270、>>277は、スレ主の意向を尊重し、訂正して書かないことにする。
いや、まあ、好きにして良いんだよ
「こんな不便な板で、こてこて数学の証明を書くこともあるまいというのが、スレ主の持論ではある」が、それは私のであって、貴方のではないだろうから
327: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/05/06(水) 08:46:57.44 ID:SXg2oFIb(4/21) AAS
>>325
どうも。スレ主です。
レスが早いですね
328(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/05/06(水) 09:06:06.94 ID:SXg2oFIb(5/21) AAS
>>326 補足
まあ、証明だったら、http://en.wikipedia.org/wiki/MathOverflow とか
あるいは、だれかプロ用日本語サイトでも作れば良いだろう
「書きにくいし確認しにくい」とは、読む方も読みにくいってこと
だが、現在ここ以外にまともな掲示板ないから
おっちゃんの練習場として使って貰う分にはかまわんよ
かつてのKummerさんみたく、読みにくい証明で埋めつくすのはいかがかと思うが・・
329(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/05/06(水) 09:09:29.69 ID:SXg2oFIb(6/21) AAS
余談だが、以前１スレで証明をまとめろとかのたまう御仁がいたが
わざわざ１スレだと読みにくいから、分けて書いた経緯がある
まず、証明のあらすじで１レス
その後、証明の流れで分けて複数レスに
１レスにつめると、ただでさえ読みにくい証明がよけいだろうと
証明を読むのが趣味な人は別として（＾＾
335(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/05/06(水) 09:47:47.72 ID:SXg2oFIb(7/21) AAS
>>328 つづき
おっちゃんのために
PAUL B. YALE，Pomona College >>258 より
P137
THEOREM 2. Any isomorphism between sub fields of C extends IQ, the identity map on Q.
THEOREM 3. The only isomorphisms between sub fields of C whose domains include R and which map R into R are IR, Ic, and complex conjugation.
Proof. Let Φ be such an isomorphism, i.e., assume R⊆domain Φ and x∈R
implies Φ(x) ∈R. We first show that Φ preserves order in R. If x <y, then there
is a real number ω such that ω≠O and y -x =ω^2. But then Φ(y) -Φ(x) = [Φ(W)]^2
with Φ(ω) ∈R and Φ(ω)≠O. Hence Φ(y) -Φ(x) is positive, i.e., Φ(x) <Φ(y).
Now assume a∈R, but that a≠Φ(a). Choose a rational number, q, between a and Φ(a).
Since Φ(q) =q by Theorem 2, the order between a and q is reversed by Φ
and we have a contradiction. Hence a∈R implies Φ(a) =a, i.e., IR⊆Φ.
If Φ≠IR, then the domain of Φ is a sub field of C containing R as a proper subset.
In any such subfield we can find a complex number, a+bi, with b≠O as
well as all real numbers. But, since x+yi=x+y([(a+bi)-a]/b), this implies
that the subfield is C itself. Thus the domain of Φ is C. Consider Φ(i). Since
i^2=-1, [Φ(i)]^2=Φ(-1)=-1. The only roots of x^2=-1 are ±i; hence Φ(i)
= ±i. If Φ(i) =i, then Φ = Ic, and if Φ(i) = -i, then Φ is complex conjugation.
Theorem 2 implies that Q has no nontrivial automorphism, and Theorem 3
implies the same for R. Theorem 3 also implies that a nontrivial automorphism
of a subfield of R cannot be extended to an automorphism of R. For example,
the automorphism σ defined just before Theorem 2 cannot be extended to an automorphism of R.
336(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/05/06(水) 09:53:02.08 ID:SXg2oFIb(8/21) AAS
>>335 つづき
"We first show that Φ preserves order in R. If x <y, then there
is a real number ω such that ω≠O and y -x =ω^2. But then Φ(y) -Φ(x) = [Φ(W)]^2
with Φ(ω) ∈R and Φ(ω)≠O. Hence Φ(y) -Φ(x) is positive, i.e., Φ(x) <Φ(y)."
実数の二乗を使っている・・
これはこれで分かり易いかも
本題の次のIc, and complex conjugation へつなげて行くために、さらっと証明を済ませる・・
337(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/05/06(水) 09:58:41.41 ID:SXg2oFIb(9/21) AAS
>>336
実数の自己同型が、IRに限られることを示すだけなら、いろいろありそうだが・・（あるいは、それだけを別のTHEOREMにするか・・）
"Theorem 2 implies that Q has no nontrivial automorphism, and Theorem 3
implies the same for R. Theorem 3 also implies that a nontrivial automorphism
of a subfield of R cannot be extended to an automorphism of R. For example,
the automorphism σ defined just before Theorem 2 cannot be extended to an automorphism of R."
も強調しておこう
これが、RとCの決定的な差だと
338(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/05/06(水) 10:38:42.97 ID:SXg2oFIb(10/21) AAS
>>337 つづき
"We first show that Φ preserves order in R. If x <y, then there
is a real number ω such that ω≠O and y -x =ω^2. But then Φ(y) -Φ(x) = [Φ(ω)]^2
with Φ(ω) ∈R and Φ(ω)≠O. Hence Φ(y) -Φ(x) is positive, i.e., Φ(x) <Φ(y)."
"for example, there are automorphisms of C which interchange π and e, send 3^(1/4) to i3^(1/4), and leave √7 fixed.
↓
例、次のような自己同型たちが存在する、π and e の交換と、 3^(1/4) を i3^(1/4)へ移し、√7 は固定する。">>300
超越数：π and e の交換,π=3.14・・・、e=2.718・・・
上記証明より、π-e=ω^2 として、Φ(ω) not ∈Rで無ければならない。もっと言えば、Φ(ω)=±iωで無ければ整合しない・・
そういう意味でも、Φ(y) -Φ(x) = [Φ(ω)]^2を使う証明は、それなりにautomorphisms of Cの数学的現象のメカニズムを反映していて分かり易いのか
339(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/05/06(水) 10:48:26.57 ID:SXg2oFIb(11/21) AAS
>>338 つづき
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0
超越数かどうかが未解決の例
π+e,π-e [注 4]
[注 4]^ しかしながら、例えば e+π, e-π のうち少なくとも一方は超越数である。これは代数的数全体が体をなすことからわかる。
（引用おわり）
まあ、だれしも普通は、e+π, e-π と予想するだろうね
なお、 e+π, e-π の両方が代数的数だとすると、その和と差が代数的数で、e、πが超越数であることに反するのか
341(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/05/06(水) 10:58:08.94 ID:SXg2oFIb(12/21) AAS
>>339 つづき
いまふと思ったが、超越数かどうかが未解決の例：π-e だとすると
π-e=ω^2として、ωがせめて無理数（有理数でない）を証明しておかないと、
"for example, there are automorphisms of C which interchange π and e, ・・・”
は、安易に言えないんじゃないのかね？ はて？
追記
まあ、仮にωが有理数としても（そんなことはないと思うが）、例示が悪いだけで論文全体の価値には影響しないが・・
342: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/05/06(水) 11:13:41.14 ID:SXg2oFIb(13/21) AAS
>>290 補足
"range"という用語について
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%80%A4%E5%9F%9F
数学、特に素朴集合論における写像の値域（ちいき、英: range）は、その写像の終域または像の何れかの意味で用いられる。
現代的な用法ではほとんど全ての場合において「像」の意味である。
「値域」("range") は異なる意味で用いられうるから、教科書や論文を読む際にいずれの意味であるかを確かめるのは初手の演習として手頃であろう。
古い本では「値域」を今日でいうところの終域の意味で用いている傾向がある[1][2]。
より現代的な本では大半が今日でいう像の意味で用いる[3]。
紛れを無くす目的で「値域」という語は用いないという本もある[4]。
http://en.wikipedia.org/wiki/Range_%28mathematics%29
In mathematics, and more specifically in naive set theory, the range of a function refers to either the codomain or the image of the function, depending upon usage.
Modern usage almost always uses range to mean image.
As the term "range" can have different meanings, it is considered a good practice to define it the first time it is used in a textbook or article.
Older books, when they use the word "range", tend to use it to mean what is now called the codomain.[1][2]
More modern books, if they use the word "range" at all, generally use it to mean what is now called the image.[3]
To avoid any confusion, a number of modern books don't use the word "range" at all.[4]
343(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/05/06(水) 11:17:45.25 ID:SXg2oFIb(14/21) AAS
>>330-335
おっちゃんどうも。スレ主です
証明お疲れです
>>340
ID:xuHONDUI さま、証明チェックお疲れさまです
345: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/05/06(水) 11:20:16.61 ID:SXg2oFIb(15/21) AAS
>>339 訂正
まあ、だれしも普通は、e+π, e-π と予想するだろうね
↓
まあ、だれしも普通は、e+π, e-π は両方超越数と予想するだろうね
346(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/05/06(水) 11:29:11.62 ID:SXg2oFIb(16/21) AAS
>>344
ガロア体？ さあ、あまり詳しくない。というか、勉強した記憶がないけど
「3Dとガロア体」 などとあるから、数学的に良い性質を持っているんだろうね・・
「3Dとガロア体」で検索を掛けると下記。有限体のこと？ 標数が０で無い体だね。詳しくないね
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E4%BD%93
有限体（ゆうげんたい、英語：finite field）とは、代数学において、有限個の元からなる体、すなわち四則演算が定義され閉じている有限集合のことである。
主に計算機関連の分野においては、発見者であるエヴァリスト・ガロアにちなんでガロア体あるいはガロア域（ガロアいき、Galois field）などとも呼ぶ[1]。
応用
・ リード・ソロモン符号など基本的なものを含む多くの誤り検出・訂正は、GF(2)、GF(2^2)、GF(2^4)、GF(2^8)、GF(2^16) などを使う。
・AES、Camelliaなど、2000年代以降の共通鍵暗号の多くは、SボックスにGF(2^8) を使う。
・ 楕円曲線暗号は、きわめて大きな位数の有限体、たとえばGF(2^400) などを使う。
350(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/05/06(水) 14:13:02.28 ID:SXg2oFIb(17/21) AAS
>>348
どうも。スレ主です。
レスありがとう。Zornの補題は、よく出会うが、真剣に考えたことがない
「上界がF内に存在することを F has the chain property で保証している。」・・か・・
わからんかったが、検索でヒットしたものを貼っておきます
http://math.stackexchange.com/questions/1266621/zorns-lemmas-chain-condition
Zorn's Lemma's chain condition
https://gowers.wordpress.com/2008/08/12/how-to-use-zorns-lemma/
How to use Zorn’s lemma This entry was posted on August 12, 2008
Terence Tao Says:
August 13, 2008 at 3:31 am | Reply
I like to think of Zorn’s lemma as a guarantee that greedy algorithms can go on as long as necessary,
before being stopped by some sort of obstruction (either a chain without an upper bound, or a maximal element).
So any finitary construction that is built via the greedy algorithm
(e.g. selecting a basis for a finite-dimensional vector space greedily)
has a decent chance of extending to the infinitary setting as well by a Zorn’s lemma argument.
Which is of course essentially what you are saying above :-)
351: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/05/06(水) 14:34:23.35 ID:SXg2oFIb(18/21) AAS
>>329 訂正
余談だが、以前１スレで証明をまとめろとかのたまう御仁がいたが
わざわざ１スレだと読みにくいから、分けて書いた経緯がある
↓
余談だが、以前１レスで証明をまとめろとかのたまう御仁がいたが
わざわざ１レスだと読みにくいから、分けて書いた経緯がある
352: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/05/06(水) 16:13:22.27 ID:SXg2oFIb(19/21) AAS
>>341 自己レス
π-e=ω^2で、π-eが無理数→ωが無理数が言える・・
だから、「π-eがせめて無理数（有理数でない）を証明しておかないと」ってことだね
π-e無理数の証明すでにどこかにあるのかね？
354: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/05/06(水) 22:23:49.01 ID:SXg2oFIb(20/21) AAS
>>353
ども。読んだが、すぐに理解できなかった・・
いまでも、あまり理解できていない（＾＾
小平流写経>>309がいるかもね・・
355(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/05/06(水) 23:45:07.19 ID:SXg2oFIb(21/21) AAS
>>338
（この事例の写像のワイルドさについて、>>259の補足）
とりあえず、π-e=v として、（証明なしで）vは無理数とする。（もしvが無理数で無ければ、πとeでなく別の二つの適当な超越数を選ぶことができるだろう）
さて、繰り返しになるが、 interchange π and e だから、
-v＝e-π＝Φ(π) -Φ(e) ＝Φ(v)＝Φ(ω^2)＝ [Φ(ω)]^2
Φ(ω)＝±iω＝±i√v＝±√(e^(πi)*v)＝±(e^(πi)*v)^(1/2)
１）これをvのn乗根の場合に拡大すると、その一つの例は(e^(πi)*v)^(1/n)となる
これは、実数ではない
２）vのk乗を考えると、Φ(v^k)＝ [Φ(ω)]^k＝(-v)^k
0<π-e＜1だから、kが増大すると、実数で符合を変えながら、だんだん小さくなり、ゼロに近づく・・
というようなワイルドさになる
（別の二つの実数の超越数α、βで、その差が無理数α-β＝v＞１であって、これをinterchangeした写像で、vのk乗を考えると、
kが増大すると、実数で符合を変えながら、だんだん大きくなり、無限大に近づく・・）
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