[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13 [転載禁止]©2ch.net (654ﾚｽ)
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243(4): １３２人目の素数さん [sage] 2015/04/30(木) 14:47:55.29 ID:PyBj3q1M(1/6) AAS
>>241
大体こんな感じ。
環同型写像f：R→Rを一価の実関数として扱う。fのQへの制限をgとする。
と、任意のx∈Qに対してf(x)＝xであり、g(x)＝xである。
点a∈Qを任意に取る。ε＞0を任意に取る。εに対して定まる実数δ(ε)＞0をδ(ε)＝εとすれば、
g(a)＝aから、確かに|x−a|＜δ(ε)のとき|g(x)−g(a)|＜εとなる。
ε＞0は任意だから、gは点a∈Qで連続である。点a∈Qは任意だから、g：Q→Qは連続である。
よって、f：R→RはQにおいて連続である。ここに、fは環同型写像だから、
任意のx、y∈Rに対してf(x＋y)＝f(x)＋f(y)であり、f(0)＝0なることに注意する。
244(7): １３２人目の素数さん [sage] 2015/04/30(木) 14:51:50.12 ID:PyBj3q1M(2/6) AAS
>>241
(>>243の続き)
[第1段]：任意のx∈Rに対してf(x)＝x・f(1)なることを示す。
(1)、x＞0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。
[小1段]：f(x)、x＞0が連続であることを示す。
yを実変数とする。点x∈(0,∞)を任意に取る。点ε∈(0,+∞)を任意に取る。
{b_k}をεに収束する任意の単調増加な正の有理数列とする。自然数k＝1,2,…を任意に取る。
と、0＜b_k＜εであり、任意のy∈Qに対してf(y)＝yだから、有理数の稠密性から
b_k＞0に対して或る(b_k)(h)∈Qが存在して。b_k＞|f(x＋(b_k)(h))|、x＋(b_k)(h)∈Rとなる。
{b'_j}を各j＝1,2,…に対してb_k＞|f(x＋b'_j)|、x＋b'_j∈Rを両方共に満たし
かつ0に収束するような任意の単調減少な正の有理数列とする。
自然数j＝1,2,…を任意に取る。すると、y_j＝x＋b'_jとすれば、y_j∈Rであり、b_k＞|f(y_j)|である。
点a∈Qを任意に取って、b_kに対して定まる実数δ(b_k)＞0がδ(b_k)＞max(b_k,|y_j|)を満たすとする。
すると、|y_j|＜δ(b_k)であり、|f(x＋a)−f(a−b'_j)|＝|f(x＋b'_j)|＝|f(y_j)|＜b_k。
よって、y_jをy−y_jで置き換えれば、|y−y_j|＜δ(b_k)のとき、|f(y−y_j)|＝|f(y)−f(y_j)|＜b_kとなる。
自然数j＝1,2,…は任意だから、j→+∞として考えれば、y_j＝x＋b'_j→x＋0であり、
よって、|y−x|＜δ(b_k)のとき、|f(y)−f(x)|＜b_kとなる。
自然数k＝1,2,…は任意だから、j→+∞として考えれば、b_k→ε−0。
よって、或る自然数N(ε)が存在して、k＞N(ε)なる自然数kを任意に1つ選んで、ε＞b_kに対して
定まる実数δ(ε)＞0を＝δ(b_k)とすれば、|y−x|＜δ(ε)のとき、|f(y)−f(x)|＜εとなる。
点ε∈(0,+∞)は任意だから、εを(0,+∞)上で走らせれば、任意のε＞0に対してfは点xで連続である。
点x∈(0,+∞)は任意だから、xを(0,+∞)上で走らせれば、f(x)は任意の点x∈(0,+∞)で連続である。
245(3): １３２人目の素数さん [sage] 2015/04/30(木) 14:53:34.96 ID:PyBj3q1M(3/6) AAS
>>241
(>>244の続き)
[小2段]：x＞0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。点x∈(0,∞)を任意に取る。
{a_k}をxに収束する正の有理数列とする。2つの自然数m、n＞0を任意に取る。
と、f(n)＝f(1＋…＋1)(1はn個)＝n・f(1)。また、1＝m・(1/m)から同様に、
f(1)＝m・f(1/m)であり、f(1/m)＝f(1)/m。よって、f(n/m)＝n・f(1/m)＝n・(f(1)/m)＝(n/m)・f(1)。
自然数m、n＞0は任意だから、m、n＞0を同時に走らせれば、各k＝1,2,…に対してf(a_k)＝a_k・f(1)。
よって、k→+∞とすれば、a_k→xであって、f(x)＝x・f(1)を得る。
点x∈(0,∞)は任意だから、x＞0のときf(x)＝x・f(1)である。 ((1)終)
(2)、x＜0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。
任意のx∈Rに対してf(x＋(−x))＝f(x)＋f(−x)＝0であり、f(−x)＝−f(x)だから、(1)と同様に考えればよい。
(1)、(2)から、確かに任意のx∈Rに対してf(x)＝x・f(1)である。
つまり、c＝f(1)とおけば、任意のx∈Rに対してf(x)＝cx。
[第2段]：cを求めて、任意のx∈Rに対してf(x)＝xなることを示す。
ここで、f：R→Rは環同型写像だから、1＝1・1から、f(1)＝(f(1))^2。また、f(1)＝c。
従って、c＝c^2から、c＝0またはc＝1。c＝0とすると、f(x)＝0であり、
定値関数fは逆関数を持たないから、f：R→Rは環同型写像ではないことになって矛盾。
一方、c＝1とすると、f(x)＝xであり、fは逆関数を持ち、f：R→Rは確かに環同型写像となり、
満たすべき条件をすべて満たす。故に、c＝1であり、fはf(x)＝xと一意に定まる。
246(2): １３２人目の素数さん [sage] 2015/04/30(木) 15:02:44.04 ID:PyBj3q1M(4/6) AAS
>>241
>>244の
>自然数k＝1,2,…は任意だから、j→+∞として考えれば、b_k→ε−0。
の「j→+∞」は「k→+∞」と訂正。
248(3): １３２人目の素数さん [sage] 2015/04/30(木) 15:45:42.68 ID:PyBj3q1M(5/6) AAS
>>241
>>244の
>{b_k}をεに収束する任意の単調増加な正の有理数列とする。
の「単調増加な正の有理数列」は「実数列」と訂正。あと、
>b_k＞0に対して或る(b_k)(h)∈Qが存在して。b_k＞|f(x＋(b_k)(h))|、x＋(b_k)(h)∈Rとなる。
>{b'_j}を各j＝1,2,…に対してb_k＞|f(x＋b'_j)|、x＋b'_j∈Rを両方共に満たし
>かつ0に収束するような任意の単調減少な正の有理数列とする。
の部分の「或る(b_k)(h)∈Q」は「或る(b_k)(h)∈R」、「有理数列」は「実数列」と訂正。
249(2): １３２人目の素数さん [sage] 2015/04/30(木) 15:52:48.84 ID:PyBj3q1M(6/6) AAS
>>241
いや、>>248(>>244)の上の部分の
>{b_k}をεに収束する任意の単調増加な正の有理数列とする。
では、「有理数列」を「実数列」と訂正。
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