[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13 [転載禁止]©2ch.net (654ﾚｽ)
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32: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/10(金) 23:26:17.42 ID:PTxulp5P(1/4) AAS
どうも。スレ主です。
33(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/10(金) 23:27:52.80 ID:PTxulp5P(2/4) AAS
まず前スレより、雑魚つぶしの問題を再録
2chｽﾚ:math
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む12
517 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2015/03/13(金) 22:32:55.89 ID:09ioS4MW
>>392の問題２
「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か
理由を付して述べよ
どうせ、君たちには無理だろうがね（笑い） ふふ、”何事も基礎を固めるのが重要だよ 急がばまわれ”、”数学なんてやめたら？ continueじゃなくて、restartするべきだよ”か、上手いことを言うね、口先くん。君の数学の実力を見せてくれ
ハメル基でも何でも使えよ・・、使えるものならね（笑い）
「ゼロを除く複素数の成す乗法群」なんて、基礎の基礎。さぞかし簡単でしょう（笑い） おそら次の週も同じことが書けそうだな・・
34: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/10(金) 23:29:34.18 ID:PTxulp5P(3/4) AAS
>>31
どうも。スレ主です。１週間考えました
35: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/10(金) 23:59:00.23 ID:PTxulp5P(4/4) AAS
まず簡単なところから
問題
(2) 体の拡大 R/Q がガロア拡大であるか否かとその証明を書け。
解答
R/Q はガロア拡大ではない。
（証明）
反例が構成できる。（たしか、足立のガロア本では、2の３乗根から反例が構成できると）
ガロア拡大(Galois extension)とは、正規拡大であり分離拡大である代数体の拡大 E/F のことを言う
正規拡大(normal extension)：代数拡大 L/K が正規拡大とは、L が K[X] の多項式の族の分解体であるときと言う。
分離拡大(separable extension)：拡大体 L/K が分離的拡大とは、拡大を定義する最小方程式が重根を持たないような拡大を言う。
R,Qは、標数ゼロの体だから、分離拡大については問題ないが
R/Q は正規拡大ではない
例えば、2の３乗根を、α＝2^(1/3)と書く。また、1の３乗根の複素数根をω、ω^2とする
α∈Rだから、R/Qがガロア拡大なら、αωやαω^2もRの要素でなければならないが、αωやαω^2は複素数だからRの要素ではない
だから、R/Q はガロア拡大ではない。
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