現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13 [転載禁止]©2ch.net

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81(1): １３２人目の素数さん [] 2015/04/12(日) 07:18:42.87 ID:IFDb2ZM+(1/18) AAS
>>79
どうも。スレ主です。
証明ありがとう
「可算無限個の可算無限集合の直積集合は可算無限集合である。」が常に成り立つかどうかだね
この証明は、直和を使っていない
一方、名大落合啓之先生「23. 可算無限個の可算集合の直積集合は可算集合である. 」 N >>73
なので、加算にならない例があるのかも知れないが、>>77が言える形に証明を拡張できれば・・

82(3): １３２人目の素数さん [] 2015/04/12(日) 08:54:31.71 ID:IFDb2ZM+(2/18) AAS
>>81
どうも。スレ主です。
http://www.f.waseda.jp/murakami/
村上順早稲田
http://www.f.waseda.jp/murakami/jugyou/2002/suugakuGairon2002/slide606.pdf
「jugyou/2002/suugakuGairon2002/slide606」
可算集合の直積集合　　可算集合となる
可算個の可算集合の直積集合　　可算集合とはならない
（引用おわり）

村上順早稲田「可算個の可算集合の直積集合　　可算集合とはならない」という
証明が無いが、証明はどこかに落ちているかも知れないね

83: １３２人目の素数さん [] 2015/04/12(日) 09:21:44.12 ID:IFDb2ZM+(3/18) AAS
>>53
関連
http://kurt.scitec.kobe-u.ac.jp/~fuchino/set-theory2014/advanced_2014summer_school.pdf
数学基礎論サマースクール2014 強制法公理とその応用
薄葉季路神戸大学 2014 年9 月19 日

（薄葉季路さんか、どう読むのだろう）

84(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/12(日) 09:37:26.04 ID:IFDb2ZM+(4/18) AAS
>>56
どうも。スレ主です。
面白い問題ありがとう
調べた範囲では、>>16問(1)の解答は落ちていなかった

>>42のギブアップ宣言は、自力では無理という意味で
まあ、何を参照しても、助力を得ても良いという意味で、
「Q~→Cは、超越拡大で非可算無限次元拡大」（非可算無限を示すところ）
OR
「Q~→Cは、超越拡大で可算無限次元拡大」？
までは、なんとか解決したい気がする

位相を理解するには、数ヶ月かな。この問題では不要だと説明できるくらいまで・・
Q~が可算集合の証明は>>69で終わった

「Q~→Cは、超越拡大で非可算無限次元拡大」（非可算無限を示すところ）に戻ると
村上順早稲田「可算個の可算集合の直積集合　　可算集合とはならない」>>82
名大落合啓之先生「23. 可算無限個の可算集合の直積集合は可算集合である. 」 N>>75
が正しいとすると、「Q~→Cは、超越拡大で可算無限次元拡大」？も正しいかもという気がする（直感的にはちょっとおかしい？）

もう少し調べれば、なにか出てくる気がする

85: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/12(日) 09:46:32.86 ID:IFDb2ZM+(5/18) AAS
>>44
>>よって、card(AutQ(R))は非加算
>1μmずつ進んでたのが一気に1kmすっとんだ感じ

ああ、これ>>43「ハメル基は非加算なければならない
よって、Q→Rは非加算無限次元拡大
よって、card(AutQ(R))は非加算」
の話ね

ハメル基が分からず適当に書いているからね
ハメル基が使えるか使えないかは、またやりましょう

86(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/12(日) 10:13:56.31 ID:IFDb2ZM+(6/18) AAS
>>37
ここに戻る

問題
体 L の体 K 上の自己同型写像全体の集合を AutK(L) と書く。
すなわち
AutK(L)={σ|K,L は体、K⊂L、σ:L→L は環同型写像、k∈K⇒σ(k)=k}
である。このとき
(1) card(AutQ(R)) を求めよ。但し、Q,R はそれぞれ有理数体、実数体とする。

> ３．単項拡大Q(α)を考えると、Q(α)はn次のベクトル空間と考えることができる。拡大次数はn
> （αの0次からn-1次の数をベクトル空間の基底にできるという話だったね）
> ４．だから、L'=Q(α)と書くと、card(AutQ(L')) =n

ここは、基礎なので、よく教科書では練習問題にされていたりする

87(2): １３２人目の素数さん [] 2015/04/12(日) 10:37:23.16 ID:IFDb2ZM+(7/18) AAS
>>86 つづき
前スレの問題で 2chｽﾚ:math
(1)
G,G' を群とし、f:G→G' を準同型写像とする。
f の核 Ker(f) が G の正規部分群であることを示せ。
なお f の核とは、G' の単位元を e' としたときの
集合 {g∈G | f(g)=e'} のことである。

解答 2chｽﾚ:math
Ker(f) が群を成す。つまり、単位元と逆元の存在：
f(e)=e' でなければならない。（e∈G、e'∈G'）
∵f(e)=bとする。f(a)=a' とすると、f(a)=f(ea)=f(e)f(a)=ba'=a'。ゆえにb=e'。
(引用おわり)

みたいな話が、あった。頻出テク（ニック）なんだよね
つまり、同型または準同型で、演算の単位元eの像はe'でなければならない

だから、自己環同型写像fで、
和に対し、f(x+y)=f(x)+F(y)で、単位元0の像は0で無ければならない
積に対し、f(xy)=f(x)F(y)で、単位元1の像は1で無ければならない
このことから、自己環同型写像fは有理数体Qを動かさない（一般には基礎体kを動かさない）ことが導かれ
このことから、自己環同型写像fはαの0次からn-1次の数をベクトル空間の基底とみて、その入れ替えになることが導かれる
エム・ポストニコフ「ガロアの理論」P37～に分かり易く書かれている
（エム・ポストニコフの記述は、いつ見ても簡潔で鮮やかだね）
この知識は、前提とした。４月で初学者もいると思うので補足した。では

88: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/12(日) 10:40:00.02 ID:IFDb2ZM+(8/18) AAS
>>87 訂正

和に対し、f(x+y)=f(x)+F(y)で、単位元0の像は0で無ければならない
積に対し、f(xy)=f(x)F(y)で、単位元1の像は1で無ければならない
　↓
和に対し、f(x+y)=f(x)+f(y)で、単位元0の像は0で無ければならない
積に対し、f(xy)=f(x)f(y)で、単位元1の像は1で無ければならない

89: １３２人目の素数さん [] 2015/04/12(日) 19:27:08.22 ID:IFDb2ZM+(9/18) AAS
age

90: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/12(日) 19:34:11.15 ID:IFDb2ZM+(10/18) AAS
帰ってきました
燃料もなにも
関係ないんだよね>>57-58

いつからこのスレを見ているか知らないが
燃料など無しでずっとやってきた
新参ものかよ、分かってない・・

92(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/12(日) 19:43:18.91 ID:IFDb2ZM+(11/18) AAS
>>91
どうも。スレ主です。
たしかに、ネタかも知れん
細かいところまで見ていないが

93(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/12(日) 19:48:53.58 ID:IFDb2ZM+(12/18) AAS
>>79で
「素因数分解し、n=Π[k=1,∞]p_k^m_k と表示する。
ここでp_kはk番目に小さい素数、m_kはnの素因数分解におけるp_kの個数である。
集合{n|n=Π[k=1,∞]p_k^m_k}:=Aの元はm_1,m_2,...の組み合わせと1対1対応するから
|A|=|N×N×・・・|」

これ素因数分解で、一般にnは積の長さは有限？
それを無限積にしている？
そこがまずい？

99: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/12(日) 20:37:59.81 ID:IFDb2ZM+(13/18) AAS
まあ、苦労して書いてくれた証明だからね・・
一方、苦労するんだよね、こちらも読むのが

アスキー文字ベース制限で数学記号を表現するのに適していない場所（板）なんだよね
p_k^m_kにしても、紙テキストかTeXなら、もっと見やすいはず

なので、この板でこまごました証明は不適だと思うんだよね
私としては・・

101(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/12(日) 22:53:21.22 ID:IFDb2ZM+(14/18) AAS
>>46
どうも。スレ主です。
言いたいことが、いま分かったよ。有理数体Ｑの完備化としてＲまたはＣを構成する話ってことだね
http://center.edu.wakayama-u.ac.jp/centerkiyou/kiyou_no14_pdf/satou.pdf
複素数の世界（1） - 和歌山大学教育学部附属教育実践総合佐藤英雄著教育実践総合センター紀要 No.14　2004
抜粋
3. 実数体の構成
実数体を有理数体から構成的に定義する方法は大
別して２通りある。一つは順序集合としての完備化
（Dedekind の切断による方法）であり、もう一つはア
ルキメデス的付値体としての完備化（Cantor-M´eray
の方法）である。
Dedekind の切断によると、加法と乗法が質的にか
なり異なったものに見える。数なる観念には少なくと
も四則演算できることがあげられようから、これを
優先させるならば、Cantor-M´eray の方法が自然であ
る。
コーシー列と零列の定義は省略するが、
次が成立する。
（引用おわり）

102(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/12(日) 23:02:20.13 ID:IFDb2ZM+(15/18) AAS
>>100
どうも。スレ主です。
いや、持論でね
むかし、このスレの初代のころ、有名なコテのKummerさんが居てね。熱心に証明を書いていた。そのとき下記やりとりがあったんだ

現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2chｽﾚ:math
535 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2012/03/10(土) 19:59:52.44
>>528-532
おいらは、Kummerさんも歓迎だよ
但し、定理の証明は自スレでやってもらえば

537 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [] 投稿日：2012/03/10(土) 20:28:25.80
>但し、定理の証明は自スレでやってもらえば

ここでやるわけないｗ

539 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2012/03/10(土) 20:31:26.35
>>537
Kummerさん、乙です

>ここでやるわけないｗ

だよね
ま、よろしくね

103(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/12(日) 23:09:55.47 ID:IFDb2ZM+(16/18) AAS
>>101 つづき

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%98%E5%80%A4%E4%BD%93
アルキメデス付値による完備体
アルキメデス付値に対する完備体 K は、実数体または複素数体に同型である（オストロフスキーの定理）[4]。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%AD%E3%83%95%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
数論において、1916年のアレクサンドル・オストロフスキー (数学者)（英語版）(Alexander Ostrowski)によるオストロフスキーの定理(Ostrowski's theorem)は、有理数 Q 上の全ての非自明な絶対値は、通常の実数の絶対値か、または、p-進絶対値に同値であると述べている[1]。

別のオストロフスキーの定理
別の定理は、アルキメデス付値に関して完備な任意の体は、代数的にもトポロジー的にも実数か複素数に同型である。これもオストロフスキーの定理と呼ばれる[2]。

http://en.wikipedia.org/wiki/Ostrowski%27s_theorem
Ostrowski's theorem 英語版 Proofがある

104: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/12(日) 23:13:52.07 ID:IFDb2ZM+(17/18) AAS
>>102 補足
だから、証明は書かずに、どこか信頼できる大学教員のサイトに落ちている証明を紹介してもらうのがベストと思う
その内容の概要あるいは説明を書いてもらえれば、さらにgood！だ

こてこてと見にくいアスキーベースの証明は、あまり好みじゃないね

105(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/12(日) 23:27:24.34 ID:IFDb2ZM+(18/18) AAS
>>103 補足
まあ、みなさん周知のコーシー列を使う実数Rの構成>>101
だが、コーシー列では、代数拡大も超越拡大も区別はつかないし
R/Qで[R：Q]が無限次元になるのは当然として、加算か非加算かも・・どうするのかねー？（笑い）

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