現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13 [転載禁止]©2ch.net

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209(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/29(水) 06:12:27.30 ID:6XYDeD+q(1/25) AAS
>>208 つづき

そうそう、体の準同型は実は同型というのがあったね。えーと
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%BA%96%E5%90%8C%E5%9E%8B
定義と概要抜粋
体の準同型（単位元を持つ環としての準同型）は常に単射であり、かつ零射でないのでその像と元の体は同型になる。
ゆえに体の場合は準同型といわず中への同型 (isomorphic into) とよび、さらに全射ならば上への同型 (isomorphic onto) であるという。
また、群や環の準同型、ベクトル空間の線型写像（環上の加群としての準同型）は全単射ならば同型である。

210(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/29(水) 06:24:22.18 ID:6XYDeD+q(2/25) AAS
>>209 つづき
「体の準同型は実は同型」は、エム・ポストニコフ（下記）で読んだ
P40に有限次元の空間の一次変換と見なす（有限（そして特別にはガロア）拡大体の場合には）ことで
P42にガロア拡大体の場合に一次変換の知識を使わずにきれに証明している
http://www.amazon.co.jp/dp/B000JAFUOC
ガロアの理論 (1964年) (数学選書) エム・ポストニコフ (著),

212(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/29(水) 06:29:34.66 ID:6XYDeD+q(3/25) AAS
>>210 つづき
エム・ポストニコフのように、「有限（そして特別にはガロア）拡大体の場合」するのが正しいか、
wikipediaのように制限を付けずに「体の準同型（単位元を持つ環としての準同型）は常に単射であり、かつ零射でないのでその像と元の体は同型になる」と言い切っていいか
にわかには判断できないが

「体の準同型は実は同型」が結構普通だとすると
やっぱ、「bijective→identity mapping の方が適切だろう・・」>>204と

213: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/29(水) 06:59:57.13 ID:6XYDeD+q(4/25) AAS
>>212 似たような話が
>>119 の1.^ J. S. Milne, Fields and Galois Theory

P36 The Fundamental Theorem of Galois Theory PROPOSITION 3.2に
Because E has finite degree over F , they are automatically isomorphisms.
とあって、関連の Proposition 2.7 がP29で
(b) If E and Ω
are both splitting fields for f , then each F -homomorphism E →
Ω is an
isomorphism. In particular, any two splitting fields for f are F -isomorphic.
とあったね

なんとなく、エム・ポストニコフのように制限を付けるのが正しいそうだね

ともかく、>>200に戻ると
Proposition 2.7の表現と、A-8 (a) Show that every field homomorphism from R to R is bijective. とを比較すろと
bijectiveをF -isomorphicより強く恒等写像の意味で使っているかも・・

しかし、Milne P27 Maps from simple extensions.で
An F -isomorphism is a bijective F -homomorphism.
An F -homomorphism E → E' of fields is, in particular, an injective F -linear map
of F -vector spaces, and so, if E and E' have the same finite degree over F , then every
F -homomorphism is an F -isomorphism.

だから、やっぱり違和感ありだね

214: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/29(水) 07:05:36.86 ID:6XYDeD+q(5/25) AAS
>>211 早起きは三文の得だよ

215(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/29(水) 09:22:46.96 ID:6XYDeD+q(6/25) AAS
>>205 関連
前にも引用した気がするが
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E9%96%89%E5%8C%85
数学、特に抽象代数学において、体 K の代数的閉包（だいすうてきへいほう、英: algebraic closure）は、代数的に閉じている K の代数拡大である。数学においてたくさんある閉包のうちの1つである。

ツォルンの補題を使って、すべての体は代数的閉包をもつ[1][2][3]ことと、体 K の代数的閉包は K のすべての元を固定するような同型の違いを除いてただ1つであることを証明できる。
この本質的な一意性のため、an algebraic closure of K よりむしろ the algebraic closure of K と呼ばれることが多い。

体 K の代数的閉包は K の最大の代数拡大と考えることができる。
このことを見るためには、次のことに注意しよう。L を K の任意の代数拡大とすると、L の代数的閉包は K の代数的閉包でもあり、したがって L は K の代数的閉包に含まれる。
K の代数的閉包はまた K を含む最小の代数的閉体でもある。
なぜならば、M が K を含む任意の代数的閉体であれば、K 上代数的な M の元全体は K の代数的閉包をなすからだ。

体 K の代数的閉包の濃度は、K が無限体ならば K と同じで、K が有限体ならば可算無限である[3]。

例
・代数学の基本定理により、実数体の代数的閉包は複素数体である。
・有理数体の代数的閉包は代数的数体である。
・代数的数体を真に含み複素数体に含まれる代数的閉体は可算個存在する。これらは有理数体の超越拡大の代数的閉包である。例えば Q(π) の代数的閉包。
・元の個数が素数のベキ q である有限体の代数的閉包は可算無限の濃度をもつ体であって、各正整数 n に対して位数 qn の体のコピーを含む（実はこれらのコピーの和集合である）[4]。

216: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/29(水) 09:26:55.30 ID:6XYDeD+q(7/25) AAS
>>215

>・代数的数体を真に含み複素数体に含まれる代数的閉体は可算個存在する。これらは有理数体の超越拡大の代数的閉包である。例えば Q(π) の代数的閉包。

「可算個存在する。これらは有理数体の超越拡大の代数的閉包である。」はいいんかい？
非加算じゃないのか？

217: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/29(水) 09:32:38.71 ID:6XYDeD+q(8/25) AAS
英文
http://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_closure

Examples

There are many countable algebraically closed fields within the complex numbers,
and strictly containing the field of algebraic numbers; these are the algebraic closures of transcendental extensions of the rational numbers, e.g. the algebraic closure of Q(π).

218: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/29(水) 09:37:08.66 ID:6XYDeD+q(9/25) AAS
英文の訳か
超越数が非加算無限存在するから、
then extend it to an isomorphism C→C' where C' is the algebraic closure of Q(A') in C.>>205
で、超越拡大Q(A')は非加算？
こんな話はさんざんして来た気がする・・

219: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/29(水) 09:50:15.73 ID:6XYDeD+q(10/25) AAS
>>141だったね

・”体 K 上のすべてのベクトル空間は十分たくさんの K のコピーの直和に同型であり、したがってある意味考えられなければならないのはこれらの直和だけである。これは任意の環上の加群に対しては正しくない。”から
・「拡大体の場合、直和で考えて、加算集合の加算無限次元ベクトル空間は常に加算」？
・で、拡大体の場合、「対偶で、非加算なら加算集合に対しては非加算無限次元ベクトル拡大でなければならない」となる

が正しいとすれば、Qの代数拡大の全てから成る拡大体Q~（代数閉包）からC（複素数体）への拡大（超越拡大）は、非加算無限次元ベクトル拡大
とすれば、基底となる超越数（超越基底）は、非加算なるべし
それら超越基底を使えば、超越拡大Q(A')は非加算なるべし？
だよね

220(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/29(水) 10:01:37.18 ID:6XYDeD+q(11/25) AAS
>>119
http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/FT.pdf
1.^ J. S. Milne, Fields and Galois Theory, pp.100-101.（上記に同じ）

P113
REMARK 9.18 What are the automorphisms of C?
There are only two continuous automorphisms (cf. Exercise A-8 and solution).
If we assume Zorn’s lemma, then it is easy to construct many: choose any transcendence basis A for C over Q, and choose any permutation α of A;
then α defines an isomorphism Q(A)→Q(A) that can be extended to an automorphism of C.
Without Zorn’s lemma, there are only two, because the noncontinuous automorphisms are nonmeasurable,*1 and it is known that the Zorn’s lemma is required to construct nonmeasurable functions.*2

1) A fairly elementary theorem of G. Mackey says that measurable homomorphisms of Lie groups are continuous
(see Theorem B.3, p. 198 of Zimmer, Robert J., Ergodic theory and semisimple groups. Birkh¨auser,1984.)
2)“We show that the existence of a non-Lebesgue measurable set cannot be proved in Zermelo-Frankel set theory (ZF) if use of the axiom of choice is disallowed...” R. Solovay, Ann. of Math., 92 (1970), 1?56.

ようやくこれが読めてきた・・

222(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/29(水) 11:55:22.10 ID:6XYDeD+q(12/25) AAS
例えばどんな？

223(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/29(水) 12:02:53.75 ID:6XYDeD+q(13/25) AAS
>>220
>What are the automorphisms of C?
>There are only two continuous automorphisms (cf. Exercise A-8 and solution).
>If we assume Zorn’s lemma, then it is easy to construct many: choose any transcendence basis A for C over Q, and choose any permutation α of A;

下記だね
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E5%B7%B1%E5%90%8C%E5%9E%8B
複素数 C の場合は、R を R の中へ移す非自明な自己同型は複素共役ただ一つである。
しかし、（選択公理を前提とすると、）無限個（非可算個の）「ワイルド」な自己同型が存在する。
（引用おわり）

only two＝自明と、非自明な自己同型複素共役の二つ
Zorn’s lemmaと選択公理は、同等（同じ結果を導ける）だから、「無限個（非可算個の）「ワイルド」な自己同型が存在する」と

227(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/29(水) 14:32:23.84 ID:6XYDeD+q(14/25) AAS
>>220
>Without Zorn’s lemma, there are only two, because the noncontinuous automorphisms are nonmeasurable,*1 and it is known that the Zorn’s lemma is required to construct nonmeasurable functions.*2

> 1) A fairly elementary theorem of G. Mackey says that measurable homomorphisms of Lie groups are continuous
> (see Theorem B.3, p. 198 of Zimmer, Robert J., Ergodic theory and semisimple groups. Birkh¨auser,1984.)
> 2)“We show that the existence of a non-Lebesgue measurable set cannot be proved in Zermelo-Frankel set theory (ZF) if use of the axiom of choice is disallowed...” R. Solovay, Ann. of Math., 92 (1970), 1?56.

１）there are only two：ここは上記の自明と、非自明な自己同型複素共役の二つ
because the noncontinuous automorphisms are nonmeasurable,*1：”measurable homomorphisms of Lie groups are continuous”の対偶だね。Lie groupsなんだ・・

２）it is known that the Zorn’s lemma is required to construct nonmeasurable functions.*2：
　“We show that the existence of a non-Lebesgue measurable set cannot be proved in Zermelo-Frankel set theory (ZF) if use of the axiom of choice is disallowed...”
　　the Zorn’s lemmaとthe axiom of choiceとの同等性は既知としている。

３）Non-measurable set
http://en.wikipedia.org/wiki/Non-measurable_set
つづく

228(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/29(水) 14:37:44.79 ID:6XYDeD+q(15/25) AAS
>>227
つづき
In mathematics, a non-measurable set is a set which cannot be assigned a meaningful "size". The mathematical existence of such sets is construed to shed light on the notions of length, area and volume in formal set theory.

The notion of a non-measurable set has been a source of great controversy since its introduction. Historically, this led Borel and Kolmogorov to formulate probability theory on sets which are constrained to be measurable.
The measurable sets on the line are iterated countable unions and intersections of intervals (called Borel sets) plus-minus null sets.
These sets are rich enough to include every conceivable definition of a set that arises in standard mathematics, but they require a lot of formalism to prove that sets are measurable.

In 1970, Solovay constructed Solovay's model, which shows that it is consistent with standard set theory, excluding uncountable choice, that all subsets of the reals are measurable.
つづく

229(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/29(水) 14:39:28.71 ID:6XYDeD+q(16/25) AAS
>>228
Historical constructions
The first indication that there might be a problem in defining length for an arbitrary set came from Vitali's theorem.[1]

When you form the union of two disjoint sets, one would expect the measure of the result to be the sum of the measure of the two sets.
A measure with this natural property is called finitely additive.
While a finitely additive measure is sufficient for most intuition of area, and is analogous to Riemann integration,
it is considered insufficient for probability, because conventional modern treatments of sequences of events or random variables demand countable additivity.

In this respect, the plane is similar to the line; there is a finitely additive measure, extending Lebesgue measure, which is invariant under all isometries.
When you increase in dimension the picture gets worse. The Hausdorff paradox and Banach?Tarski paradox show that you can take a three-dimensional ball of radius 1, dissect it into 5 parts, move and rotate the parts and get two balls of radius 1.
Obviously this construction has no meaning in the physical world.
In 1989, A. K. Dewdney published a letter from his friend Arlo Lipof in the Computer Recreations column of the Scientific American
where he describes an underground operation "in a South American country" of doubling gold balls using the Banach?Tarski paradox.[2]
Naturally, this was in the April issue, and "Arlo Lipof" is an anagram of "April Fool".
つづく

230(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/29(水) 14:45:46.33 ID:6XYDeD+q(17/25) AAS
>>229
Example
Consider the unit circle S, and the action on S by a group G consisting of all rational rotations.
Namely, these are rotations by angles which are rational multiples of π.
Here G is countable (more specifically, G is isomorphic to Q/Z) while S is uncountable.
Hence S breaks up into uncountably many orbits under G.
Using the axiom of choice, we could pick a single point from each orbit, obtaining an uncountable subset X ⊂ S with the property that all of its translates by G are disjoint from X and from each other.
The set of those translates partitions the circle into a countable collection of disjoint sets, which are all pairwise congruent (by rational rotations).
The set X will be non-measurable for any rotation-invariant countably additive probability measure on S: if X has zero measure, countable additivity would imply that the whole circle has zero measure.
If X has positive measure, countable additivity would show that the circle has infinite measure.
引用おわり

231: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/29(水) 14:52:06.33 ID:6XYDeD+q(18/25) AAS
>>230
en.wikipedia.org/wiki/Vitali_set 日本語があるね
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%BF%E3%83%AA%E9%9B%86%E5%90%88
抜粋
数学において、ヴィタリ集合（ヴィタリしゅうごう）とはジュゼッペ・ヴィタリ（英語版）(Giuseppe Vitali (1905))によって作られたルベーグ不可測な実数集合の基本的な例である。

ヴィタリの定理はそのような集合が存在することを保証する存在定理である。不可算に多くのヴィタリ集合が存在し、それらの存在は選択公理の仮定の下で示される。

可測集合
集合には '長さ' や '重さ' が定まるものがある。例えば、区間 [0, 1]は長さ1を持つと思われる。; もっと一般的に、区間[a, b] (a ? b) は長さ b ? a を持つと思われる。このような区間を一様な密度の金属棒と見ると、同じように重さも定義可能である。

ルベーグ測度が定められる集合をルベーグ可測集合と呼ぶ。
しかし、ルベーグ測度の構成（カラテオドリの拡張定理を使う）自体からは不可測集合の存在は明らかに分かることではない。
その問題に対する答えは選択公理を仮定するかどうかをも問うことになる。

構成と証明
有理数集合 Q は実数集合 R の普通の加法についての部分群を成す。なので加法の商群 R/Q (つまり、有理数分の差を持つ実数同士を集めた同値類による剰余群) は有理数集合の互いに交わらない"平行移動コピー"によって出来ている。
この群の任意の元はある r ∈ R についての Q + r として書ける。

R/Q の元は R の分割の1ピースである。そのピースは不可算個あり、各ピースはそれぞれ R の中で稠密である。
R/Q の元はどれも [0, 1] と交わっており、選択公理によって [0, 1] の部分集合で、R/Q の代表系になっているものが取れる。
このようにして作られた集合がヴィタリ集合と呼ばれているものである。
（引用おわり）

232(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/29(水) 15:09:26.81 ID:6XYDeD+q(19/25) AAS
>>200
>A-8. (SOLUTIONS TO THE EXERCISES)P132
>(a) A homomorphism α：R→R acts as the identity map on Z, hence on Q, and it maps positive real numbers to positive real numbers, and therefore preserves the order.
>Hence, for each real number a,
>{ r ∈ Q | a < r} ＝｛ r ∈ Q | α(a) < r};
>which implies that α(a)＝ a.

ここに戻る。
>>190-191で私、スレ主の証明を書いた。そこで
１）第1段”A homomorphism α：R→R acts as the identity map on Z, hence on Q, and it maps positive real numbers to positive real numbers, and therefore preserves the order.”
２）「いろいろ思いついたが、結局うまく「符合を変えない」が言えなかったので、ボツにした」>>191と書いたが
３）やはり「実数の性質、例えば>>188の収束する有理点列{An}を使う手もある」>>190を示唆しているように思う
４）第2段"{ r ∈ Q | a < r} ＝｛ r ∈ Q | α(a) < r}; which implies that α(a)＝ a." は、>>190の４～５に類似だろう。

233: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/29(水) 15:19:16.81 ID:6XYDeD+q(20/25) AAS
R. Solovay, Ann. of Math., 92 (1970), 1?56 >>220
In 1970, Solovay constructed Solovay's model, >>228

Robert M. Solovay
http://en.wikipedia.org/wiki/Robert_M._Solovay
Robert Martin Solovay (born December 15, 1938) is an American mathematician specializing in set theory.

Solovay earned his Ph.D. from the University of Chicago in 1964 under the direction of Saunders Mac Lane, with a dissertation on A Functorial Form of the Differentiable Riemann?Roch theorem.
Solovay has spent his career at the University of California at Berkeley, where his Ph.D. students include W. Hugh Woodin and Matthew Foreman.
以下略

234(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/29(水) 15:25:44.56 ID:6XYDeD+q(21/25) AAS
>>224-226
どうも。スレ主です。
見たけど、まあ良いと思うけど
それぞれ、別にスレがありそうだね

このスレの主目的は、原ガロア理論（第一論文）の布教にあるんだ
私の勉強は、副次的な目的として

スレの脱線で、いろんな関連・無関連のテーマは取り上げるよ
また、脱線の範囲は未定義で、なんでもあり。まあ、それが２ちゃんねるらしいと

そういう線で行きましょう

236(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/29(水) 15:58:17.06 ID:6XYDeD+q(22/25) AAS
>>232
ちょっと戻る

>(a) A homomorphism α：R→R acts as the identity map on Z, hence on Q, and it maps positive real numbers to positive real numbers, and therefore preserves the order.

思うに、実数Rの定義として、収束する有理点列{An}を考えて、A homomorphism α：R→R が、preserves the order だということだろう
だから、明示的に使っているのは、「実数Rの定義として、収束する有理点列{An}」と「順序の保存」。実数の連続性は、表には出ないが、実数Rの定義から従うのだろう

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%82%99%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E7%A9%BA%E9%96%93
抜粋
完備距離空間（かんびきょりくうかん）は数学用語の一つ。

位相空間論あるいは解析学において、距離空間 M が完備（かんび、英: complete）またはコーシー空間（コーシーくうかん、英: Cauchy space）であるとは、M 内の任意のコーシー点列が M に属する極限を持つ（任意のコーシー点列が収束する）ことを言う。

直観的に言えば、空間が完備であるというのは（その内側や境界において）点を追いかけると「空間からはみ出してしまう」ということが起きないということである。
例えば、有理数全体の成す集合 Q は完備でないが、これは例えば 2 の正の平方根は、それに収束する有理コーシー数列が構成できるにも拘らず、有理数ではないので Q からははみ出してしまう（後述）。
「こういった抜けを全て埋めてしまう」という考えは後述するように、空間の完備化 (completion) として常に可能である。

完備化
先の完備化の構成法をノルム線型空間に施せばもとの空間を稠密部分空間として含むバナハ空間が得られ、内積空間に施せば元の空間を稠密部分空間として含むヒルベルト空間が得られる。

位相的完備空間
距離空間の完備性は、完備な距離空間が完備でない距離空間に同相となり得るという意味で、距離的性質だが位相的性質ではないことに注意すべきである。

変形版と一般化
一般の位相群に対してもコーシー列は定義できるから、距離構造や完備性の定義および空間の完備化の構成法も、群構造を使ったもので置き換えた変形版を考えることができる。

237(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/29(水) 16:15:32.90 ID:6XYDeD+q(23/25) AAS
>>235
どうも。スレ主です。

いやー、全くそういう発想は無かったね
fの式はf(x)＝xなら自明な同型で、当然環同型写像の性質は満たす

けど、
環同型写像f：R→R
環同型写像f：Q(α)→Q(α) αは代数的数
環同型写像f：Q(α)→Q(α) αは超越数
環同型写像f：C→C
の４つの場合を考えると、どうよ？

f(x+y)＝f(x)+f(y)、f(xy)＝f(x)f(y) x、y∈Fxは任意（Fxは上記４つ体のいずれか）
fが逆関数を持つことと、f(x)＝x　x∈Qは任意
これらは、４つの場合に共通だろ？
上記から直ちにf(x)＝xは出ない。というか、f(x)＝xに限られる実数の場合が例外だと

241(7): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/29(水) 17:32:55.67 ID:6XYDeD+q(24/25) AAS
>>238-240
なるほど、それは、考えとしてはすばらしいね
絶対大事なことだよ

が、一つ問題は、「関数f(x)のグラフを座標平面上で描いて考える」が、環同型写像f：R→Rのとき常に成り立つと言えるかどうかだね
もっと言えば、>>220
"If we assume Zorn’s lemma, then it is easy to construct many: choose any transcendence basis A for C over Q, and choose any permutation α of A;"とあるだろ？
こういう例を、環同型写像f：R→Rの場合にどうやって排除するか

242: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/04/29(水) 17:36:37.82 ID:6XYDeD+q(25/25) AAS
補足
もっと言えば、「ワイルド」な自己同型>>223 が、実数体Rで排除されるのはなぜか？だ

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