395(1): デフォルトの名無しさん [] 2024/04/17(水) 08:38:41.15 ID:Rqxu+zgK(8/10) AAS
P(x)は実数係数多項式で、∀x∈R, P(x) ≥ 0が成り立つとする。

P(x)の次数は偶数。
∵ 奇数なら、x → ±∞ どちらかの極限が-∞になるから。

deg(P(x)) = 2dとする
d = 0のとき、P(x)は非負の定数Cなので、P(x) = √C^2と書ける。

2(d-1)以下の偶数次のR係数多項式では、
∀x∈R, Q(x) ≥ 0 ⇒ Q = f_1^2 + ... + f_n^2と書ける
が成立すると仮定する

{P(x)|x∈R}は下に有界
十分大きなr > 0を取れば、|x| > rでのP(x)の値は、[-r, r]でのP(x)の値よりも大きくできる。
よって、P(x)は最小値m > 0を持つ。

P(x) = mとなるxをx_0
F(x) = P(x) - mとおく
F(x)はF(x_0) = 0で、x = x_0で極小値をとるから、あるQ(x)が存在して
F(x) = (x - x_0)^2 Q(x)
となる。

Q(x) = F(x)/(x - x_0)^2は、次数2(d-1)以下でつねに非負だから、仮定より
Q(x) = f_1(x)^2 + ... + f_n(x)^2
と書ける。

よって、
P(x) = (f_1(x)(x - x_0))^2 + ... + (f_n(x)(x - x_0)^2 + √m^2
と書ける。

396(1): デフォルトの名無しさん [] 2024/04/17(水) 08:39:47.33 ID:Rqxu+zgK(9/10) AAS
多変数では同様のことは成り立つのかな？

340(7): デフォルトの名無しさん [sage] 2024/04/16(火) 16:09:15.10 ID:X3z51ZSN(1) AAS
>>337,339
そんなことより、これを大学数学初年度の回答レベルで解いてみてよ
画像ﾘﾝｸ

はユーチューブの拾い物なだけだから
動画ﾘﾝｸ[YouTube]

(そこでは別解がなされてる)

>>398
Lean4で回答してくれても良いよ

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401: デフォルトの名無しさん [] 2024/04/17(水) 10:01:20.89 ID:sJRiVtui(1) AAS
いろいろ具体例で実験して発見するのだなあ

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402: デフォルトの名無しさん [] 2024/04/17(水) 10:41:17.51 ID:reMCnFls(1) AAS
ある朝、男が牧場の近くを通った時、腕時計が壊れていることに気づきました。
牧場には、牧草の束にもたれて寝ている牛飼いがいたので、男は「今、何時ですか」と尋ねました。
すると、牛飼いは近くの牛の金玉を持ち上げて、「8時10分だよ」と言いました。
男は怪訝に思いながらも、お礼を言って牧場を後にしました。

その日の夕、時計を直した男は再び牧場のそばを通りました。
牧場には、朝の牛飼いが牧草の束にもたれて寝ていました。
男は牛飼いに「今、何時ですか」と尋ねました。
牛飼いは、やはり牛の金玉を持ち上げて、「5時30分だよ」と言いました。
男は自分の時計を見ました。時計は牛飼いの言うとおり、5時30分を指していました。
男は驚き、「どうして牛の金玉で時間がわかるのですか」と牛飼いに尋ねました。
牛飼いは笑って、「向こうの時計台を見ていただけだよ」と言い、牧場の向こうを指差しました。

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