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48(3): 片山博文MZ ◆T6xkBnTXz7B0 [sage] 2017/07/22(土) 18:39:33.61 ID:WTRjQogU(1/18) AAS
>>47定理って言ってるんだから、定理だろ。
ベン図と真理値表で簡単に証明可能。
50(3): 片山博文MZ ◆T6xkBnTXz7B0 [sage] 2017/07/22(土) 18:48:30.61 ID:WTRjQogU(2/18) AAS
無限集合の場合は集合の内包的定義により、離散的な論理学に還元され、やはり成り立つ。
52(1): 片山博文MZ ◆T6xkBnTXz7B0 [sage] 2017/07/22(土) 18:57:46.94 ID:WTRjQogU(3/18) AAS
A＝{ x | x ∈A }.
B＝{ x | x ∈B }.
A∩B＝{ x | x ∈A ∧ x∈B }.
このように、集合の元の存在は論理学に還元される。
53: 片山博文MZ ◆T6xkBnTXz7B0 [sage] 2017/07/22(土) 19:05:08.09 ID:WTRjQogU(4/18) AAS
論理学の真理値表→論理学のド・モルガンの定理→集合論のド・モルガンの定理
55(1): 片山博文MZ ◆T6xkBnTXz7B0 [sage] 2017/07/22(土) 19:16:19.03 ID:WTRjQogU(5/18) AAS
何も数えていないぞ。
x∈Aというのはxの性質を表しただけだ。
集合論の内包的定義を否定するのか？
57(2): 片山博文MZ ◆T6xkBnTXz7B0 [sage] 2017/07/22(土) 19:32:50.77 ID:WTRjQogU(6/18) AAS
集合論で、無限演算(極限)が必要になることは少ない。無限集合においても扱う性質が有限であることが多いからだ。
58(2): 片山博文MZ ◆T6xkBnTXz7B0 [sage] 2017/07/22(土) 19:38:35.09 ID:WTRjQogU(7/18) AAS
無限集合では、１つ１つ数えるのではなく、性質(述語)に着目する。集合は述語の組み合わせで表せる。
取り扱う集合を表す述語が有限の表現で表せないなら、人間はそれを考えることすらできないだろう。
59(1): 片山博文MZ ◆T6xkBnTXz7B0 [sage] 2017/07/22(土) 19:47:57.23 ID:WTRjQogU(8/18) AAS
そんなに気になるなら、疑問をなくすために本格的に数学者になって『集合の極限に関する研究』という本を出版してはいかがか。
60: 片山博文MZ ◆T6xkBnTXz7B0 [sage] 2017/07/22(土) 20:00:32.46 ID:WTRjQogU(9/18) AAS
すまない。オレは数学の話になると神経質になるんだ。
62(1): 片山博文MZ ◆T6xkBnTXz7B0 [sage] 2017/07/22(土) 20:27:14.25 ID:WTRjQogU(10/18) AAS
A＝{ x | x ∈A }. B＝{ x | x ∈B }.
A∩B＝{ x | x ∈A ∧ x∈B }.
A∪B＝{ x | x ∈A ∨ x∈B }.
~A＝{ x | ¬(x∈A) }.
~(A∩B)＝{ x | ¬(x ∈A ∧ x∈B) }.
~A∪~B＝{ x | ¬(x ∈A) ∨ ¬(x∈B) }.
ここで、¬(x ∈A ∧ x∈B)＝{ x | ¬(x ∈A) ∨ ¬(x∈B)を証明すれば、
~(A∩B)＝~A∪~B と言える。
63: 片山博文MZ ◆T6xkBnTXz7B0 [sage] 2017/07/22(土) 20:34:24.27 ID:WTRjQogU(11/18) AAS
ここでα＝(x∈A)、β＝(x∈B)とおけば、命題α、βによる命題論理学のド・モルガンの定理に還元される。
α、βについて真理値表を作れば、容易に命題論理学のド・モルガンの定理が証明できる。□
64: 片山博文MZ ◆T6xkBnTXz7B0 [sage] 2017/07/22(土) 20:38:22.42 ID:WTRjQogU(12/18) AAS
>>62
訂正。
(誤) ここで、¬(x ∈A ∧ x∈B)＝{ x | ¬(x ∈A) ∨ ¬(x∈B)を証明すれば、
(正) ここで、¬(x ∈A ∧ x∈B)＝¬(x ∈A) ∨ ¬(x∈B)を証明すれば、
66(1): 片山博文MZ ◆T6xkBnTXz7B0 [sage] 2017/07/22(土) 20:47:54.26 ID:WTRjQogU(13/18) AAS
集合の極限というと、
S＝f(X_0)∪f(X_1)∪...∪f(X_n)∪...
みたいな感じか？
自明ではないが、つまらないな。
68: 片山博文MZ ◆T6xkBnTXz7B0 [sage] 2017/07/22(土) 21:09:55.19 ID:WTRjQogU(14/18) AAS
君の公理系では公理かも知れない。ただZFCで証明されるものであるから、定理と言った方がいい。
70: 片山博文MZ ◆T6xkBnTXz7B0 [sage] 2017/07/22(土) 21:21:12.59 ID:WTRjQogU(15/18) AAS
無限大について、濃度が定まっている。集合が一意に確定する。
71: 片山博文MZ ◆T6xkBnTXz7B0 [sage] 2017/07/22(土) 21:25:41.26 ID:WTRjQogU(16/18) AAS
集合であることの定義にまでさかのぼって、well-definedであることを確認すればいい。
72: 片山博文MZ ◆T6xkBnTXz7B0 [sage] 2017/07/22(土) 21:26:51.50 ID:WTRjQogU(17/18) AAS
あとは数学的帰納法だ。
73: 片山博文MZ ◆T6xkBnTXz7B0 [sage] 2017/07/22(土) 21:36:21.21 ID:WTRjQogU(18/18) AAS
整数の無限大は整数ではない。
整数の全体集合は無限の濃度だが、集合としてwell-definedである。
このように、極限については個別に存在を確認する必要がある。
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