「teratailもりあがっtail」におけるサイバーいじめ

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465: KEMONO_PANTSU ◆sRRjTYeJB.  [] 2022/03/16(水) 14:08:27.30

461KEMONO_PANTSU ◆sRRjTYeJB. 2022/03/16(水) 11:06:41.42
ゲーデルの不完全性定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
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ゲーデルの不完全性定理（ゲーデルのふかんぜんせいていり、英: G&#246;del's incompleteness theorems、独: G&#246;delscher Unvollst&#228;ndigkeitssatz）または不完全性定理とは、数学基礎論の重要な定理[1]（数学基礎論は数理論理学や超数学とほぼ同義な分野で、計算機科学〔コンピュータ科学〕と密接に関連している[2]）。クルト・ゲーデルが1931年の論文で証明した定理であり[3]、有限の立場（形式主義）では自然数論の無矛盾性の証明が成立しないことを示す[2][3]。なお、少し拡張された有限の立場では不完全性定理は成立せず、自然数論の無矛盾性の証明が成立する（ゲンツェンの無矛盾性証明）[2]。

計算機科学者（コンピュータ科学者）・論理学者のトルケル・フランセーン[4]および数学者・論理学者の田中一之[4]によると、不完全性定理が示したものは数学用語の意味での「特定の形式体系Pにおいて決定不能な命題の存在」であり、一般的な意味での「不完全性」とは無関係である[5]。すなわち不完全性定理以降の時代にも、数学上の意味で「完全」な理論は存在し続けているが[5]、“不完全性定理は数学や理論の「不完全性」を証明した”というような誤解が一般社会・哲学・宗教・神学等によって広まり、誤用されている[6]。

「不完全性定理が成立しない体系」および「ゲーデルの完全性定理」も参照
数学の「無矛盾性」を証明することを目指したヒルベルト・プログラムに関して「不完全性定理がヒルベルトのプログラムを破壊した」という類の哲学的発言はよくあるが、これは実際の不完全性定理やゲーデルの見解とは異なる、とフランセーン達は解説している[7]。正確には、ゲーデルはヒルベルトと同様の見解を持っており、彼が不完全性定理を証明して示したのは、ヒルベルトの目的（「無矛盾性証明」）を実現するためには手段（ヒルベルト・プログラム）を拡張する必要がある、ということだった[7]。日本数学会が言うには「彼〔ゲーデル〕の結果はヒルベルトの企図を直接否定するものではなく，実際この定理の発見後に無矛盾性証明のための様々な方法論が開発されている」[3]。

「不完全性定理によるヒルベルト・プログラムの発展」も参照

http://medaka.5ch.net/test/read.cgi/prog/1643536179/465

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