集合指向(set-intensive)ではない数学 (11ﾚｽ)
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1: 11/17(月)00:03 ID:tv/rEZnT(1) AAS
現代数学の研究対象は、何らかの公理をみたす集合として定式化される
しかし、オイラーなどの時代に遡ってみれば、数学の研究対象は個別の数や方程式だった
いまさら、集合以外の定式化はできないのだろうか？
2: 11/17(月)01:46 ID:H6cLI1J9(1) AAS
作用か
3: poem 11/17(月)02:08 ID:cPHXoseb(1) AAS
パラドックス系がパラドックス解消して公理になる場合も何らかの集合関係なんだろうけど
4: 11/17(月)11:22 ID:iLzSRPlS(1) AAS
無理だろ
極限とか数列の性質じゃなくて、それが属している空間の性質だし
5: 11/17(月)11:40 ID:hqUUL6t+(1) AAS
物理、工学じゃん
6: 11/17(月)14:44 ID:ZJf5Avvl(1) AAS
pを素数として級数
s_n = 1 + p + p^2 + ... p^n
の収束/発散はs_nだけではなく、s_nが属している位相空間に依存する。
多項式
f(x) = x^2 + 1
が既約かどうかはfだけではなく、fが属している環に依存する。
7: 11/18(火)15:53 ID:OPaRqn61(1/2) AAS
$\mathbb{F}_1$ の探求は、数学の公理そのものを書き換え、「集合と作用」という旧来の基礎を、より柔軟な対象（例えばモノイドや圏）で置き換える試みである 2。その究極的な目的は、整数論におけるリーマン予想の証明 2 や、代数幾何学の「絶対的（Absolute）」な基礎付け（$Spec \mathbb{Z}$ を $\mathbb{F}_1$ 上の曲線と見なす 2）を提供することにあると信じられている。
8: 11/18(火)15:56 ID:OPaRqn61(2/2) AAS
したがって、BitNet b1.58 が採用した計算モデルは、数学的には「$\mathbb{F}_1$ 上の基点付き集合の線形代数」の実装にほかならない。
9: 11/18(火)19:58 ID:uxujt4Sn(1) AAS
集合指向ではない数学は結局、集合が元の集まりであることを忘れて、それ自体をプリミティブな対象として扱うというだけだ
つまり、非集合指向は集合指向ということ
10(1): 11/18(火)23:41 ID:W824nrvo(1) AAS
実数の連続性をデデキント完備性と考えるならば集合が必要だが、同値な条件に非集合論的なものは色々ある
そういった方向でいいならある程度できるだろう
11: 11/19(水)11:01 ID:yPidUt5I(1) AAS
>>10
たとえば？
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