行列とは何か (47ﾚｽ)
上下前次1-新
1: 10/14(火)02:57 ID:Wz4YW2pq(1) AAS
そして何であるべきか
18: poem 10/14(火)05:42 ID:3JIjIq5a(13/21) AAS
行列(複項目)は単項目(実数)の不可要件を解除するか
19: poem 10/14(火)05:46 ID:3JIjIq5a(14/21) AAS
>>5- 自分も解析に難がある面があるから、書いた技術より技術更新が必要、常に更新を探ってる
20: poem 10/14(火)05:47 ID:3JIjIq5a(15/21) AAS
レス乞食胆石さんに戻します。どうぞ続きを
21: poem 10/14(火)05:48 ID:3JIjIq5a(16/21) AAS
自分の話って繋がる？
22: poem 10/14(火)06:07 ID:3JIjIq5a(17/21) AAS
あと
相違点と絶違点
相対と絶対が違う
総体と全体が違う
など
色んな機能の相違
23: poem 10/14(火)06:09 ID:3JIjIq5a(18/21) AAS
まだ自分も解析にマチマチな難があってさ
24: poem 10/14(火)06:13 ID:3JIjIq5a(19/21) AAS
自分は周り公認の病人
25: poem 10/14(火)06:14 ID:3JIjIq5a(20/21) AAS
さあ胆石さん、続けてどうぞ
26: poem 10/14(火)06:15 ID:3JIjIq5a(21/21) AAS
スレの目的は？
27(1): 10/14(火)11:20 ID:6pyyksle(1/5) AAS
行列 A=
a₁₁ a₁₂ … a₁ₙ
a₂₁ a₂₂ … a₂ₙ
…
aₘ₁ aₘ₂ … aₘₙ
aᵢⱼ∈ℂを(i, j)成分、
横を行、第i行、縦を列、第j列
複素行列、実行列
縦ベクトル、列ベクトル
横ベクトル、行ベクトル
縦ベクトルは小文字、行列は大文字で表すことにする
横ベクトルはᵗxのように表すことにする
行列の相等A=Bとは行列の型が等しく成分が全て等しいこと
和差A±Bは(a₁ⱼ)+(bᵢⱼ)、同じ型の行列A、Bに対して各成分の和差を持つ行列C
C=A±B
c∈K、cA=c(aᵢⱼ)をAのc倍、スカラー倍
Kはℂまたはℝとする。各成分をc倍する
D=cA
(-1)A=-A、A+(-B)=A-B
零行列Оは全ての成分が0である行列
∀A: A+О=A、A-A=О
結合律 (A+B)+C=A+(B+C)
交換律 A+B=B+A
a(A+B)=aA+aB、(a+b)A=aA+bA
∀a, b∈K: (ab)A=a(bA)=b(aA)
1A=A、0A=О
28: 10/14(火)12:01 ID:6pyyksle(2/5) AAS
A∈(l, m)型行列、B∈(m, n)型行列
C=ABはC∈(l, n)型行列
成分cᵢₖ=ᵗ(aᵢ₁ aᵢ₂ … aᵢₘ) (b₁ₖ b₂ₖ … bₘₖ)
=aᵢ₁b₁ₖ+aᵢ₂b₂ₖ+…aᵢₘbₘₖ=∑ [j=1, m] aᵢⱼbⱼ
ABが定義されてもBAが定義されるとは限らず、BAが定義されてもAB=BAとは限らない
29: 10/14(火)12:02 ID:6pyyksle(3/5) AAS
A∈(k, l)型、B∈(l, m)型、C∈(m, n)型とすると
(AB)C=A(BC) ∈(k, n)型となる。結合律
A(B+C)=AB+AC、(A+B)C=AC+BC 分配律
∀A: AО=ОA=О
c(AB)=(cA)B=A(cB)
クロネッカーの記号δᵢⱼ=1 (i=j)、0(i≠j)
E=(δᵢⱼ) ∈(n, n)型
を単位行列
AE=EA=A
B=ᵗ(b₁ b₂ … bₙ)、bᵢ (1≤i≤n)は縦ベクトル
AB=A ᵗ(b₁ b₂ … bₙ)=(Ab₁ Ab₂ … Abₙ)
(行列Bを縦ベクトルbᵢの横並びに分解する)
30: 10/14(火)12:02 ID:6pyyksle(4/5) AAS
AE=Aᵗ(e₁ e₂ … eₙ)=(Ae₁ Ae₂ … Aeₙ)
=(a₁ a₂ … aₙ)=A
x=(x₁ x₂ … xₙ)=x₁e₁+x₂e₂+…+xₙeₙ
xᵢ∈(1, 1)型、eᵢ∈(m, 1)型である
縦ベクトルa₁, a₂, …, aₙの線型結合
x₁a₁+x₂a₂+…+xₙaₙ
31: 10/14(火)12:58 ID:6pyyksle(5/5) AAS
Aの複素共役行列をA'とする
(A')'=A、(A±B)'=A'±B'、(cA)'=c'A'、
(AB)'=A'B'
和差、スカラー倍、積の複素共役
Aの転置行列をᵗAとする
ᵗ(ᵗA)=A、ᵗ(A±B)=ᵗA±ᵗB、ᵗ(cA)=cᵗA、
ᵗ(AB)=ᵗBᵗA、ᵗ(A')=(ᵗA)'
和差、スカラー倍、積の転置
複素共役の転置=転置の複素共役
行列の区分け
(m, n)型をより小さな(p, q)型にする
各成分は行列になる。積が定義されるように分割する
32: 10/15(水)09:48 ID:MphqDkI/(1/2) AAS
n次正方行列、加法、減法、乗法が常に可能
零行列О→0、単位行列E→1と考えてよい場合がある
除法はスカラーの場合、a≠0ならば
ab=1を満たすbがaにおうじて常に存在する。b=a⁻¹≠0
行列Aに対してAX=XA=Eとなる行列Xが存在する時、Aは正則である、Aは正則行列である。XをAの逆行列、X=A⁻¹
行列の場合、A=Оならば逆行列は存在しない。これはスカラーと同じだが
A≠Оであっても逆行列は存在しない場合がある
(A⁻¹)⁻¹=A、c≠0⇒(cA)⁻¹=A⁻¹c⁻¹=c⁻¹A⁻¹
(AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹、
正則行列全体の集合は群をなす
Aが正則⇒A'、ᵗAも正則である
正方行列の対角部分に正方行列を置く区分けを対称な区分けと呼ぶことにする
対角行列、対角成分、
cE→cをスカラー行列
対角成分の和をtrA、固有和、跡、trace、spur
線型性、Tr(cA)=cTr(A)、Tr(A+B)=TrA+TrB
可換性、Tr(AB)=Tr(BA)
冪に関して指数法則が成り立つ
AB=BA(可換)ならば(AB)ᵏ=AᵏBᵏ、A⁰=E
更にAが正則行列ならばA⁻ᵏ=(A⁻¹)ᵏ、A⁰=Eとして任意の整数kに対して指数法則が成り立つ。
33: 10/15(水)10:24 ID:MphqDkI/(2/2) AAS
線型写像T: ℂⁿ→ℂᵐ
T(x+y)=T(x)+T(y)、T(cx)=cT(x)
n=mの時、線型写像は線型変換と言う
Tᴀ(x)=Axの時、TᴀをAによって定まる線型写像、Aを線型写像Tᴀの表現行列
T=Tᴀである。すなわち線型写像Tには行列Aで表される写像Tᴀ以外には存在しない。一意性
線型写像T: ℂⁿ→ℂᵐ全体と(m, n)型複素行列A全体には自然な一対一対応がある。
(n, n)型複素行列全体と線型変換T: ℂⁿ→ℂⁿ全体は一対一に対応する
恒等変換I: x→x、正則行列ならば逆変換T⁻¹が存在する。A⁻¹によって表される
Tを線型写像T: ℝⁿ→ℝᵐ、
線型変換T: ℝⁿ→ℝⁿに制限しても
Aが実行列になるだけで同じ話。
34: 10/16(木)19:13 ID:TUIr2v03(1) AAS
基本行列と基本変形
左基本変形と右基本変形
i行とj行を入れ換える
i行をc≠0倍する
i行にj行のc倍を加える
列に関しても同様
基本行列は正則行列である
i j→j i、i→ci、i→i+cj
(p, q)を要として掃き出す
Aの(p, q)成分=a≠0とする
p行をaで割る。
a(i, q)≠0ならば、それ倍して引く。
A≠Оならばこのようにして
1を対角線上に並べた行列に変形される
残りの対角線上は0が並ぶ
1
1
1
0
0
0
n次行列で、基本変形すると1がr個並ぶとすると0がn-r個並ぶ。
数学的帰納法により、n次で1つ掃き出せばn-1次に帰着され帰納法の仮定によりn次が示される。
A 0 B
0 … 0 1 0 …0
C 0 D
0
(p, q)成分が1、その横と縦は全て0)
↓
これを
1 0 … 0
0
… F
0
と(1, 1)成分が1、それ以外の第1行、第1列は全て0と変形できる
(m, n)型行列A₁が(m-1, n-1)型行列A₂に変形される
A₁=1 ᵗ0
0 A₂
この到達点を標準形と呼ぶことにする
標準形は基本変形の仕方や順序によらず1つに定まる。一意性。
1の並ぶ数rを行列Aの階数Rankと言う
RankA=r
r=nの時、Aは正則。それ以外の時すなわちr<nの時、Aは正則ではない
基本変形によりA⁻¹を求めることができる
(A E)が基本変形により(E B)と変形されるとするとB=A⁻¹ 。逆行列である
もしEに達しないならばAは正則ではなかったということが分かる。正則性の判定と逆行列を求める事が同時に行われる。
35(1): 10/17(金)14:53 ID:HZC5mX+V(1) AAS
>>27
キレイに添字がレンダリングされてるけどこれどうやんの？
36(1): 10/18(土)01:57 ID:F4I9L+TI(1/7) AAS
>>35
探してコピペしただけ。
37: poem 10/18(土)06:06 ID:0cJgg6b5(1) AAS
自分の方、新プラクティス出た
｢●対抗を違う解析になる複数取れる場合対抗の取り方で可能不可能な概念が変わり可能不可能の違いが違う解析になるどれかを特定しうるヒントになれる｣
これ新出ね。力になった
38: 10/18(土)07:59 ID:F4I9L+TI(2/7) AAS
ᵗxȳ、内積(x, y)、(x|y)、x・y
∑xᵢȳᵢ、複素ベクトルの内積をエルミート積
∑xᵢyᵢ、
(cx, y)=c(x, y)、(x, cy)=c'(x, y)
(y, x)=(x, y)'、共役線型性、正値性、半正値性、長さ、Norm
(x, y)≤|x| |y| Schwartzの不等式
|x+y|≤|x|+|y| 三角不等式
垂直⇔内積=0
実ベクトルならば成り立つが複素ベクトルだと成り立たない命題がある
(Ax, y)=(x, ᵗĀy)が成り立つ
ᵗĀをAの随伴行列と言う。A*
(A*)*=A、(A+B)*=A*+B*、(cA)*=c'A*
(AB)*=B*A*
A=A*ならばAはエルミート行列
実エルミート行列=実対称行列
A=A*=ᵗĀ=ᵗA
(Ax, y)=(x, A*y)=(x, Ay)
āᵢⱼ=aⱼᵢである。特にaᵢᵢ(対角成分)∈ℝ
aᵢⱼ∈ℝならばaᵢⱼ=aⱼᵢとなる
A*A=EならばAをユニタリ行列
実ユニタリ行列=直交行列
エルミート行列、実対称行列、ユニタリ行列、直交行列は特別な行列であり重要
n次ユニタリ群、n次直交群
A* A=Eならば
ᵗ(A* A)=ᵗAᵗ(A*)=ᵗAᵗ(ᵗĀ)=ᵗA Ā=E
Aはユニタリ行列⇔|Ax|=|x|が成り立つ
⇔(Ax, Ay)=(x, y)⇔(𝙖ᵢ, 𝙖ⱼ)=δᵢⱼ
Aは直交行列⇔|Ax|=|x|⇔(Ax, Ay)=(x, y)⇔(𝙖ᵢ, 𝙖ⱼ)=δᵢⱼ。各列ベクトルは直交している。正規直交基底をなす
回転行列と鏡映行列
二次直交行列
39: 10/18(土)10:06 ID:F4I9L+TI(3/7) AAS
任意の二点間の距離を変えない変換を合同変換T
T₀は直線を直線にうつす
T₀(𝙤)=𝙤、T₀(𝙭)=𝙖、T₀(c𝙭)=c𝙖=cT₀(𝙭)
三角形は合同な三角形にうつるから
𝙭→𝙖、𝙮→𝙗⇒𝙭+𝙮→𝙖+𝙗となる
T₀(𝙭+𝙮)=𝙖+𝙗=T₀(𝙭)+T₀(𝙮)
従ってT₀は線型変換である
|A𝙭|=|𝙭|なのでAは直交変換
平行移動T₁はT₁(𝙭)=𝙭+𝙖と書ける
一般の合同変換TはT𝙭=A𝙭+𝙖
Ã𝙭˜=A 𝙖 𝙭
ᵗ𝙤 1 1
→A𝙭+𝙖
1
合同変換群
分けると
E 𝙖
ᵗ𝙤 1 は平行移動
合同変換Tが裏返しをしない時、運動と言う。右手系を右手系にうつし、正の角を正の角にうつす。平行移動は運動である
直交変換はdetA>0の時に運動となる
運動Tが線型変換の時、Tは回転
detA=±1、運動群、回転群
Aを直交行列から正則行列に変えると
アフィン変換
A 𝙤
ᵗ𝙤 1 は直交変換
未知数n個、方程式の本数m本の連立一次方程式。
解が求まる、解が無い不能、解が定まらない不定。
ここでは解が一意に定まる場合と不定になる場合を考える
A、Ã=(A 𝙘)を係数行列、拡大係数行列
𝙭˜=(𝙭 -1)、A𝙭=𝙘 ⇔ Ã𝙭˜=𝙤
これに左基本変形を何度施しても解は変わらない
∀P∈GL(n, ℂ): PÃ𝙭˜=𝙤
ここで新たな変形を付け加える、
未知数の交換である
定数項ベクトルには触れずにAの列交換を施すことに相当する
3x+y=5 ∧ 2x-y=2を
x+3y=5 ∧ -x+2y=2 に変換すること。
40: 10/18(土)12:14 ID:g2N5l3bu(1/2) AAS
>>36
可能な限りあなたのレスから辞書登録させてもらった、ありがと
41: 10/18(土)12:23 ID:g2N5l3bu(2/2) AAS
TeX記法など使わなくてもプレーンテキストだけで美麗な数式が書けるものだなあ…
しかしĀやȳᵢのようなバー付き文字は1字とみなされて、何にでもバーを付けられるわけではない？
42: 10/18(土)14:15 ID:F4I9L+TI(4/7) AAS
最終的には
1
1
0
0
B=E b
О О、
B˜=(B 𝙙)
d(r+1~m)の中に0以外のものがあれば不能、解なし。
x=(d 0)+t₁(-b₁ e₁)+t₂(-b₂ e₂)+…
+tₙ₋ᵣ(-bₙ₋ᵣ eₙ₋ᵣ)
43: 10/18(土)14:17 ID:F4I9L+TI(5/7) AAS
(x y z w)=(d₁ d₂ 0 0)+t₁(-b₁₁ -b₁₂ 1 0)+
t₂(-b₂₁ -b₂₂ 0 1)
RankA=rの時、n-r個のパラメーターt₁~tₙ₋ᵣ
44: 10/18(土)14:17 ID:F4I9L+TI(6/7) AAS
r個の解にはそれぞれn-r個の-tᵢbᵢⱼがつく
(x y z)=(d₁ d₂ d₃) RankA=3
(x y z)=(d₁-zb₁₁ d₂-zb₂₁ z) RankA=2
(x y z)=(d₁-yb₁₁-zb₁₂ y z) RankA=1
(x y z)=(x y z) RankA=0
自由度、任意定数の個数
解を持つ⇔RankA=RankÃが成り立つ
未知数n個、式の本数m本でm=nかつ
係数行列Aが正則ならば唯1つの解を持つ
𝙘=𝙤ならば自明な解𝙭=𝙤を持つ
原点を通るか通らないかの違い
平行移動
45: 10/18(土)16:11 ID:F4I9L+TI(7/7) AAS
数ベクトルと成分
(a, b, c)、(a₁, a₂, a₃)=(aᵢ)
ベクトルの相等
次数が等しく全ての成分が等しい
和差とスカラー倍
𝙖±𝙗=(aᵢ±bᵢ)、c𝙖=(caᵢ)
各成分ごとの和差、各成分をc倍する
零ベクトル、𝙖+𝙤=𝙖
(-1)𝙖を-𝙖、𝙖+(-𝙖)=𝙤
𝙗+(-𝙖)=𝙗-𝙖 和と差
ベクトルに関する分配律と
スカラーに関する分配律
スカラー倍に関する結合律
1𝙖=𝙖、0𝙖=𝙤、c𝙤=𝙤、零ベクトル
c𝙭=𝙖∧c≠0⇔𝙭=𝙖/c
スカラー×ベクトル=ベクトル、c𝙖
ベクトル×ベクトル=スカラー、𝙖·𝙗
ベクトル×ベクトル=ベクトル、𝙖×𝙗
乗法としては
スカラー倍とスカラー積(内積)とベクトル積(外積)を考える
一次結合、線型結合∑cᵢ𝙖ᵢ
基本ベクトルと単位ベクトル
行列の行 横向きと列 縦向き
行列の成分は座標によりaᵢⱼと表される
a₁₁ a₁₂
a₂₁ a₂₂
基本ベクトルを順番に並べたもの単位行列E。これは1と同じような働き
零ベクトルを並べたもの零行列О。これは0と同じような働き
行列単位の線型結合として任意の行列は表される。
m行n列の行列を(m, n)型行列、
行列の第i行第j列の成分を(i, j)成分
行列の積は行ベクトル・列ベクトル∈K
一般には非可換であるAB≠BA
転置行列 ᵗA
46: poem 10/19(日)17:17 ID:BpkWiiMj(1) AAS
熊とALSOK、ALSOKとバス
2chｽﾚ:occult
─
実績の賞と変革の賞は異なる
2chｽﾚ:sci
─
気力系の代替が出た
2chｽﾚ:sci
↓
後のURLリンク待ち
2chｽﾚ:sci
─
「ウソ800」で恒真な命題を呟いたらどうなるの？
2chｽﾚ:math
─
IUT一派は学術界にとって有害では？←スレタイはpoemを有害とほぼ同件
2chｽﾚ:math
47: poem 10/21(火)14:42 ID:4nXavK3w(1) AAS
自分の方、手法に新たな手法が出た
●易化は、一括、が無く、多堀、しか無い、と難化。一括vs多堀、の図式
易化しない色々沢山の案件の理屈が出た
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ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ
ぬこの手 ぬこTOP 0.017s