行列とは何か (47ﾚｽ)
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34: 10/16(木)19:13 ID:TUIr2v03(1) AAS
基本行列と基本変形
左基本変形と右基本変形
i行とj行を入れ換える
i行をc≠0倍する
i行にj行のc倍を加える
列に関しても同様
基本行列は正則行列である
i j→j i、i→ci、i→i+cj
(p, q)を要として掃き出す
Aの(p, q)成分=a≠0とする
p行をaで割る。
a(i, q)≠0ならば、それ倍して引く。
A≠Оならばこのようにして
1を対角線上に並べた行列に変形される
残りの対角線上は0が並ぶ
1
1
1
0
0
0
n次行列で、基本変形すると1がr個並ぶとすると0がn-r個並ぶ。
数学的帰納法により、n次で1つ掃き出せばn-1次に帰着され帰納法の仮定によりn次が示される。
A 0 B
0 … 0 1 0 …0
C 0 D
0
(p, q)成分が1、その横と縦は全て0)
↓
これを
1 0 … 0
0
… F
0
と(1, 1)成分が1、それ以外の第1行、第1列は全て0と変形できる
(m, n)型行列A₁が(m-1, n-1)型行列A₂に変形される
A₁=1 ᵗ0
0 A₂
この到達点を標準形と呼ぶことにする
標準形は基本変形の仕方や順序によらず1つに定まる。一意性。
1の並ぶ数rを行列Aの階数Rankと言う
RankA=r
r=nの時、Aは正則。それ以外の時すなわちr<nの時、Aは正則ではない
基本変形によりA⁻¹を求めることができる
(A E)が基本変形により(E B)と変形されるとするとB=A⁻¹ 。逆行列である
もしEに達しないならばAは正則ではなかったということが分かる。正則性の判定と逆行列を求める事が同時に行われる。
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