可算無限個のサイコロを投げます

可算無限個のサイコロを投げます (257ﾚｽ)
上下前次 1-新
通常表示 512ﾊﾞｲﾄ分割ﾚｽ栞

236: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/19(土) 11:06:30.82 ID:jT6bEcWg

>>221 つづき
＜決定番号の確率について＞
１）決定番号の確率について考えよう
　まず、5列 s1，s2，s3 ，s4，s5
　si ｜ i＝1〜5 は、コイントスで {0,1}が入る
　しっぽ同値
　数列 s'1，s'2，s'3 ，s'4，s'5 で、しっぽ同値だと s'5＝s5 だ
　だから、一つの同値類の場合の数は 2^4 で、全体Ωは 2^5
　一つの同値類 2^4 で
　決定番号1 とは、全ての列一致で つまり si=s'i ｜ i＝1〜4 (s5=s'5 は仮定されているとして)
　その確率 1/2^4
　同様に 決定番号4以下 とは S4=s'4でさえ あれば良いので 1/2
　よって、残り決定番号5の場合が、確率 1-1/2=1/2
２）列長さL（L>5）で、一つの同値類内で sL=s'L は満たされているとして
　決定番号L-1以下 とは S4=s'4であれば良いので 1/2
　よって、決定番号Lの場合が、確率 1-1/2=1/2
３）ここで、L→∞ を考えると 最後の箱は 無限の彼方に飛び去る
　（全体Ωは 2^∞ で発散する）
　つまり、無限の長い列において 有限決定番号dとは dから後の無限長のしっぽが全て一致している
　即ち 1/2^∞ =0 の存在 （存在するが 測度0 つまり零集合の元）
４）いま、これを一般化して 2→m枚(1〜m)のカードを シャッフルして入れるとする
　上記同様に、有限長L で、一つの同値類の場合の数は m^L-1 で、全体Ωは m^L
　L→∞ で、無限の長い列において 有限決定番号dとは dから後の無限長のしっぽが全て一致している
　即ち 1/m^∞ =0 の存在 （確率0の存在。存在するが 測度0 つまり零集合の元）
５）いよいよ、箱入り無数目と同じく 箱にランダムな実数を入れる
　区間[0,1]の一様分布でr∈[0,1]を取る
　有限長L で、この場合 しっぽ同値では 決定番号d=Lが全て
　L-1番目を含み それ以降の箱の一致確率は0
　つまり、決定番号d<L が起きる確率0（∵ si=s'i となる確率0）
　L→∞ でも、上記と同様で 有限決定番号dは 確率0の存在。存在するが 測度0 つまり零集合の元
６）ダメ押しで、付番に拡大実数で+∞を導入しよう
　（はさみうちの原理）
　この場合において しっぽ同値で 決定番号d=+∞ がとれる
　箱入り無数目と同じく 箱にランダムな実数を入れる
　区間[0,1]の一様分布実数を入れる。決定番号d=+∞で終わり
　決定番号dが有限の確率0（上記５）項と同じ）
　はさみうちの原理により、有限長さLを大きくした極限の場合と
　拡大実数で+∞を導入した場合において はさまれる 箱入り無数目において
　有限決定番号dは 確率0の存在。存在するが 測度0 つまり零集合の元！■

よって、箱入り無数目は、確率0で 99/100を導き 結局 その確率は 0*99/100＝0

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B8%AC%E5%BA%A6%E8%AB%96
測度論
可測集合 S が μ(S) = 0 であるとき零集合 (null set) という

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%A1%E5%A4%A7%E5%AE%9F%E6%95%B0
拡大実数
通常の実数に正の無限大 +∞ と負の無限大 −∞ の2つを加えた体系

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%81%AF%E3%81%95%E3%81%BF%E3%81%86%E3%81%A1%E3%81%AE%E5%8E%9F%E7%90%86
はさみうちの原理
極限に関する定理の一つ

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1752265419/236

上下前次 1-新書関写板覧索設栞歴

ｽﾚ情報赤ﾚｽ抽出画像ﾚｽ抽出歴の未読ｽﾚ

ぬこの手ぬこTOP 0.012s