数学の原理を発見した (20ﾚｽ)

数学の原理を発見した http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1749452582/

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5: １３２人目の素数さん [] 2025/06/09(月) 17:24:04.22 ID:qBe5NCNE ためしに、ヒルベルトの基底定理を見てみる。 以下の補題を使う。 Lemma1: ネーター環R上の有限生成加群はネーター加群 これの証明には以下の補題を使う。 Lemma2: R加群の列 0 → M' → M → M'' → 0 が完全とすると、Mがネーター加群⇔M', M''がネーター加群。 これは簡単に示せる。 Lemma1の証明: M = Σ_{i=1}^n R mi とする。nに関する機能法で示す。 n = 1のときは、M ～ R/ann(m1)なのでネーター。 n-1まで正しいと仮定する。 N = Σ_{i=1}^{n-1} R miとおくと、完全列 0 → N → M → M/N → 0 を得る。Nと、M/N ～ Rmn/N∩Rmnは仮定よりネーターなので、Lemma1よりMもネーター。□ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1749452582/5

6: １３２人目の素数さん [] 2025/06/09(月) 17:27:52.68 ID:qBe5NCNE Theorem: Rがネーター環⇒R[X]はネーター環 証明: I⊂R[X]をイデアルとする。IがR[X]上有限生成であることを示す。 J⊂Rを、Iの多項式の最高次の係数になる元全体とする。JはRのイデアルになる。 Rはネーター環なので、Jはa1, ..., an∈Rで生成される。各i = 1, 2, ..., nに対して、aiを最高次の係数に持つIの元が存在するので、それをfi∈Iとおく。また、d = max{deg(fi)}とする。 f = bX^m + (低次の項)∈Iを任意の多項式とする。もし、m > dなら、b = Σri ai (ri∈R)の形だから、f - Σrifi X^(m-d)の次数はdより小さくなり、しかもIに入る。 つまり、R加群として I = (R + RX + ... + RX^(d-1))∩I + ΣR[X] fi 。 (R + RX + ... + RX^(d-1))はネーター環R上有限生成なので、Lemma1よりネーター加群。よって、そのR部分化群(R + RX + ... + RX^(d-1))∩IもR上有限生成。その生成元とf1, ..., fnを合わせると、IのR[X]上の生成元になる。□ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1749452582/6

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