数学の原理を発見した (20ﾚｽ)

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6: １３２人目の素数さん [] 2025/06/09(月) 17:27:52.68 ID:qBe5NCNE Theorem: Rがネーター環⇒R[X]はネーター環 証明: I⊂R[X]をイデアルとする。IがR[X]上有限生成であることを示す。 J⊂Rを、Iの多項式の最高次の係数になる元全体とする。JはRのイデアルになる。 Rはネーター環なので、Jはa1, ..., an∈Rで生成される。各i = 1, 2, ..., nに対して、aiを最高次の係数に持つIの元が存在するので、それをfi∈Iとおく。また、d = max{deg(fi)}とする。 f = bX^m + (低次の項)∈Iを任意の多項式とする。もし、m > dなら、b = Σri ai (ri∈R)の形だから、f - Σrifi X^(m-d)の次数はdより小さくなり、しかもIに入る。 つまり、R加群として I = (R + RX + ... + RX^(d-1))∩I + ΣR[X] fi 。 (R + RX + ... + RX^(d-1))はネーター環R上有限生成なので、Lemma1よりネーター加群。よって、そのR部分化群(R + RX + ... + RX^(d-1))∩IもR上有限生成。その生成元とf1, ..., fnを合わせると、IのR[X]上の生成元になる。□ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1749452582/6

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