大学数学の質問スレ Part1 (282ﾚｽ)
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79: １３２人目の素数さん [] 2025/07/19(土) 12:14:06.10 ID:CS5dgjr3 >>77-78 その説明も捕らえ所がありません。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/79
80: １３２人目の素数さん [] 2025/07/19(土) 12:18:24.00 ID:CS5dgjr3 松本幸夫著『多様体の基礎』 M を n 次元の位相多様体とする。 m ≠ n であるとき、 M は m 次元の位相多様体ではない。 これは非常に重要な事実だと思います。 ところが、松本さんの本にはこのことが書かれていません。 証明なしでも書くべきことだと思います。 多様体の定義のところで既に教科書として問題があります。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/80
81: １３２人目の素数さん [] 2025/07/19(土) 12:23:23.29 ID:CS5dgjr3 n ≠ m であるとき、 R^n の開集合 U と R^m の開集合 V は同相ではない。 この基本的な事実を示すことが既に難しいということです。 そして、位相多様体の定義では、この事実が重要です。 多様体論の最初のところで既にこのような困難があります。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/81
82: １３２人目の素数さん [] 2025/07/19(土) 12:41:13.83 ID:CS5dgjr3 Loring W. Tu著『An Introduction to Manifolds Second Edition』 この本に以下のような説明があります。（多変数の実関数の場合に。） f が点 a のある近傍で点 a でのテイラー級数 f(x) = f(a) + f'(a) * (x - a) + f''(a)/2! * (x - a)^2 + … + f^{k}(a)/k! * (x - a)^k + … に等しいとき、 f は点 p で実解析的であるという。 収束べき級数は収束円内において項別微分可能であるから、実解析的関数は必然的に C^∞ である。 これって変ですよね。 f(x) = f(a) + f'(a) * (x - a) + f''(a)/2! * (x - a)^2 + … + f^{k}(a)/k! * (x - a)^k + … と書いた時点で、 f には点 a での任意階の微分係数が存在するので、 f は点 a の近傍で C^∞ ですよね。 f が点 a のある近傍で点 a でのテイラー級数 f(x) = b_0 + b_1 * (x - a) + b_2 * (x - a)^2 + … + b_k * (x - a)^k + … に等しいとき、 f は点 p で実解析的であるという。 と書くべきですよね。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/82
88: １３２人目の素数さん [] 2025/07/19(土) 21:05:05.13 ID:CS5dgjr3 >>85 f(x) = b_0 + b_1 * (x - a) + b_2 * (x - a)^2 + … + b_k * (x - a)^k + … は収束円内でいくらでも微分可能です。よって、 f は点 a の近傍である収束円の内部で C^∞ です。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/88
89: １３２人目の素数さん [] 2025/07/19(土) 21:13:57.51 ID:CS5dgjr3 >>86 それは有名な反例がありますよね。 x = 0 でいくらでも微分可能で、その任意階数の微分係数の値がすべて 0 であるけれども 0 の任意の近傍で恒等的には 0 にならないような関数が存在します。 この関数が x = 0 の近傍でテイラー展開可能であれば、その近傍で恒等的に 0 でなければなりません。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/89
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