大学数学の質問スレ Part1 (319ﾚｽ)
大学数学の質問スレ Part1 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/
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1: １３２人目の素数さん [] 2025/05/26(月) 10:57:18.43 ID:MW0NRypB 無くなってたので立て直し http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/1
2: １３２人目の素数さん [] 2025/05/26(月) 11:02:38.42 ID:MW0NRypB 早速ですがお願いします。 M:m次元多様体 f:M→ℝ:C^∞級関数 0はfの臨界値でない K:=f^{-1}(0):Mのm−1次元部分多様体 Kはコンパクト このとき、 「Kのコンパクト性を使うと、十分小さい正整数εについて、[-ε,ε]はfの臨界値を含んでいないことがわかる」 と書かれているのですが、この理由がわかりません。 わかる方いらっしゃいましたら教えていただきたく存じます。 本は松本幸夫先生のMorse理論の基礎です。 また、[-ε,ε]ではなく(-ε,ε)でも問題ないです
。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/2
3: １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/26(月) 11:28:28.74 ID:H6nvv4tx >>1 スレ番と過去ログつけろよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/3
4: １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/26(月) 14:03:05.47 ID:0BRlOm1U fの微分の絶対値がK上最小値を取るけど0ではないみたいにやるんじゃね 想像だけど http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/4
5: １３２人目の素数さん [] 2025/05/26(月) 14:14:37.61 ID:IOQ4+0EH | | ーーーーーーー ↑ [-ε,ε] 0はfの臨界値でなくてKがコンパクトだから K∩[-ε,ε]=φとなるεを頑張れば取れるってことかな… Kは有界閉集合ってことだし… http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/5
6: １３２人目の素数さん [] 2025/05/26(月) 14:17:00.15 ID:1P739T/v 以下、あっていますよね？ Σ a_n, Σ b_n は絶対収束するとする。 c_n := a_0 * b_n + a_1 * b_{n-1} + … + a_n * b_0 とする。 Σ c_n は絶対収束し、 Σ c_n = Σ a_n * Σ b_n が成り立つことを証明せよ。 証明： A_n := Σ_{k=0}^n a_k B_n := Σ_{l=0}^n b_l C_n := Σ_{m=0}^n c_m A'_n := Σ_{k=0}^n |a_k| B'_n := Σ_{l=0}^n |b_l| C'_n := Σ_{m=0}^n |c_m| lim_{n→∞} A_n = A lim_{n→∞} B_n = B lim_{n→∞} A'_n = A' lim_{n→∞} B'_n = B' とする。 コ
ーシーの収束条件より、 任意の正の実数 ε に対して、 n ≧ N ならば、ε > A'_n * B'_n - A'_N * B'_N であるような N が存在する。 n ≧ N ならば、 ε > A'_n * B'_n - A'_N * B'_N ≧ A'_n * B'_n - C'_n ≧ |A_n * B_n - C_n| つまり、 lim_{n→∞} (A'_n * B'_n - C'_n) = 0 よって、 lim_{n→∞} (C'_n - A' * B') = lim_{n→∞} [(C'_n - A'_n * B'_n) + (A'_n * B'_n - A' * B')] = lim_{n→∞} (C'_n - A'_n * B'_n) + lim_{n→∞} (A'_n * B'_n - A' * B') = 0 + 0 = 0 したがって、 lim_{n→∞} C'_n = A' * B' よって、 Σ c_n
は絶対収束する。 つまり、 lim_{n→∞} (A_n * B_n - C_n) = 0 よって、 lim_{n→∞} (C_n - A * B) = lim_{n→∞} [(C_n - A_n * B_n) + (A_n * B_n - A * B)] = lim_{n→∞} (C_n - A_n * B_n) + lim_{n→∞} (A_n * B_n - A * B) = 0 + 0 = 0 したがって、 lim_{n→∞} C_n = A * B よって、 Σ c_n = Σ a_n * Σ b_n が成り立つ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/6
7: １３２人目の素数さん [] 2025/05/26(月) 14:17:36.26 ID:IOQ4+0EH 0∈[-ε,ε]だよな http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/7
8: １３２人目の素数さん [] 2025/05/26(月) 14:21:10.70 ID:1P739T/v >>6 AI（GhatGPT, Grok, Gemini）に質問しましたが、どれも間違っているという回答でした。 あっていると思いますが、もし間違っていたら、指摘してください。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/8
9: １３２人目の素数さん [] 2025/05/26(月) 14:22:39.65 ID:1P739T/v n ≧ N ならば、 ε > A'_n * B'_n - A'_N * B'_N ≧ A'_n * B'_n - C'_n ≧ |A_n * B_n - C_n| を n > 2 * N ならば、 ε > A'_n * B'_n - A'_N * B'_N ≧ A'_n * B'_n - C'_n ≧ |A_n * B_n - C_n| に訂正します。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/9
10: １３２人目の素数さん [] 2025/05/26(月) 14:24:55.83 ID:1P739T/v やはりAIはまだまだ駄目ですね。 こんな簡単なこともチェックできません。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/10
11: １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/26(月) 14:35:20.28 ID:H6nvv4tx 常連の馬鹿アスペがこのスレを見つけました http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/11
12: １３２人目の素数さん [] 2025/05/26(月) 14:44:05.81 ID:1P739T/v ちなみに >>6 の問題は、 堀川穎二著『複素関数論の要諦』 の宿題3に関連する問題です。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/12
13: １３２人目の素数さん [] 2025/05/26(月) 14:50:51.10 ID:1P739T/v >>6 は有名なので、微分積分の教科書（例えば、松坂和夫著『解析入門』）に書いてあるのですが、 >>6 の証明とは違う証明になっています。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/13
14: １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/26(月) 15:11:56.61 ID:0BRlOm1U 堀川穎二には講義中に罵倒されて鬱になったから絶対に答えてやらねー http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/14
15: 死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ [] 2025/05/26(月) 15:51:46.44 ID:uoPtX8k0 気分に重大な欠陥がないか保健センター。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/15
16: 死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ [] 2025/05/26(月) 15:53:37.93 ID:uoPtX8k0 に学生研究生までは誘導。職員は大学病院とコネ。うつはうつる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/16
17: １３２人目の素数さん [] 2025/05/26(月) 16:52:36.51 ID:1P739T/v 堀川穎二さんってどういう教員だったんですか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/17
18: １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/26(月) 17:31:04.20 ID:0BRlOm1U 本スレで聞け https://itest.5ch.net/kako/test/read.cgi/math/1055661588/ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/18
19: １３２人目の素数さん [] 2025/05/26(月) 17:42:49.42 ID:1P739T/v >>18 リンクありがとうございます。 興味深いですね。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/19
20: １３２人目の素数さん [] 2025/05/26(月) 19:31:59.60 ID:rsjnSrMv 「人間じゃねー」が口癖だったとか http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/20
21: １３２人目の素数さん [] 2025/05/28(水) 08:58:24.71 ID:+IqSozqY 堀川穎二著『複素関数論の要諦』 1 / (1 + z + z^2) をべき級数展開せよ。 「 すぐに思いつくのは 1/(1+t) = 1 - t + t^2 - … に t = z + z^2 を代入することだろう。以前に試験に出したら、 |z + z^2| < 1 を解いて、収束範囲は (-1 - √5) / 2 < z < (-1 + √5) / 2 という答案が続出した。 」 このコメントが意味不明です。 |z + z^2| < 1 を解いても、 (-1 - √5) / 2 < z < (-1 + √5) / 2 とはなりません。 東京大学の数学科に進学予定の学生って
こんなに馬鹿な人も多いんですか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/21
22: １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/30(金) 16:08:59.81 ID:CD4cYFeO 口だけ番長のレベル http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/22
23: １３２人目の素数さん [] 2025/06/08(日) 04:10:19.60 ID:5glNS3uF Σ x_n を s に収束する正項級数とする。 φ: N → N を全単射とする。 Σ x_φ(n) は s に収束する。 ↑は既知とする。 Σ x_n を絶対収束級数とする。 Σ x_n は収束する。 証明： N_1 := {i ∈ N : x_i ≧ 0} N_2 := {i ∈ N : x_i < 0} とする。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/23
24: １３２人目の素数さん [] 2025/06/08(日) 04:10:33.88 ID:5glNS3uF Σ_{n ∈ N_1} x_n は、正項級数だから意味を持つ。 Σ_{n ∈ N_2} x_n は、負項級数だから意味を持つ。 どちらの級数も Σ x_n が絶対収束級数だから収束する。 s_1 := Σ_{n ∈ N_1} x_n とする。 s_2 := Σ_{n ∈ N_2} x_n とする。 ε を任意の正の実数とする。 N_1 の部分集合 M_1 で、 M_1 ⊂ M ⇒ |Σ_{n ∈ M} x_n - s_1| < ε/2 となるようなものが存在する。 N_2 の部分集合 M_2 で、 M_2 ⊂ M' ⇒ |Σ_{n ∈ M'} x_n - s_2| < ε/2 となるようなものが存在する
。 N_1_n := {i ∈ {1, 2, …, n} : x_i ≧ 0} N_2_n := {i ∈ {1, 2, …, n} : x_i < 0} とする。 M_1 ⊂ N_1_n、M_2 ⊂ N_2_n をみたすような n ∈ N が存在する。 Σ_{i ∈ {1, 2, …, n} x_i = Σ_{i ∈ N_1_n} x_i + Σ_{i ∈ N_2_n} x_i である。 |Σ_{i ∈ {1, 2, …, n} x_i - (s_1 + s_2)| ≦ |Σ_{i ∈ N_1_n} x_i - s_1| + |Σ_{i ∈ N_2_n} x_i - s_2| < ε が成り立つ。 明らかに、 n よりも大きい任意の自然数を n としたときにもこの不等式は成り立つ。 よって、 Σ x_n は収束する。 http://rio2016.5ch.net/test/read
.cgi/math/1748224638/24
25: １３２人目の素数さん [] 2025/06/08(日) 04:11:04.67 ID:5glNS3uF ↑の証明ってどうですか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/25
26: １３２人目の素数さん [] 2025/06/08(日) 13:54:46.05 ID:5glNS3uF 一松信著『解析学序説上巻（旧版）』 べき級数の微分積分のところで、 「 f^{m}(x) = m! * a_m + (m + 1)! * a_{m + 1} * (x - a) + (1/2) * (m + 2)! * a_{m + 2} * (x - a)^2 + … 右辺の表わす函数は連続だから、 x → a とした極限は、 x = a とおいたものに等しく、 f^{m}(a) = m! * a_m となり 」 という記述があります。 間違ってはいませんが、単に f^{m}(x) = m! * a_m + (m + 1)! * a_{m + 1} * (x - a) + (1/2) * (m + 2)! * a_{m + 2} * (x - a)^2 + … の x
に a を代入して、 f^{m}(a) = m! * a_m という結果を得ればいいのではないでしょうか？ 新版でも同様の記述があります。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/26
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