大学数学の質問スレ Part1 (319ﾚｽ)
大学数学の質問スレ Part1 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/
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210: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/30(水) 14:45:41.36 ID:J31VdO3g >>209 pはこの話に関係ないと思ってたけど違うんか？ 引数は変数1個で受けるという基本を無視しようとする松坂君の主張が意味不明な話ではなくって http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/210
211: １３２人目の素数さん [] 2025/07/30(水) 16:24:08.33 ID:Owbf1GR5 >>210 彼の違和感の根源は X_pがpの「関数」だってところから来てるんだと思ったからね なぜそれが根源だと思ったかというと >>200 >X1 ≠ X2 でも、ある点 p において、 X1_p = X2_p となるかもしれません。 と書いているから http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/211
212: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/30(水) 16:32:51.68 ID:J31VdO3g >>211 あーその発想はなかったわ 確かに2つ目のレス単独で見るとそうなるな 今度は1つ目の線型結合でなんたらとか言ってたのはなんだったんだろうってなるが… http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/212
213: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/30(水) 16:38:50.64 ID:J31VdO3g X_pみたいなのが単独の記号なのか、1つ変数かなんて柔軟に読まないと f(x_1,...,x_n)なんて出てきただけで松坂君発狂すんじゃね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/213
214: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/30(水) 16:39:37.24 ID:J31VdO3g ❌1つの変数か→関数の値か http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/214
215: １３２人目の素数さん [] 2025/07/30(水) 17:20:55.67 ID:5T+RajIt For p ∈ U and X_p ∈ T_p U, define (df)_p (X_p) = X_p f. と書いてあるので、 X_p は単なる1つの変数を表わす記号ではありません。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/215
216: １３２人目の素数さん [] 2025/07/30(水) 17:23:35.18 ID:Owbf1GR5 >>208 >>209に書いたのは pがその説明のxにあたり g(x)を定義しようとしているのではなくて f(x)に対してg(x,f)を定義しようとしているということを 理解すべきだということ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/216
217: １３２人目の素数さん [] 2025/07/30(水) 17:24:50.66 ID:5T+RajIt From any C^∞ function f : U → R, we can construct a 1-form df, called the differential of f, as follows. For p ∈ U and X_p ∈ T_p U, define (df)_p (X_p) = X_p f. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/217
218: １３２人目の素数さん [] 2025/07/30(水) 17:26:01.61 ID:Owbf1GR5 >>215 >X_p は単なる1つの変数を表わす記号ではありません。 X_pはT_p Uの元だからただのベクトルよ pごとに別々のベクトル空間のベクトルを考えることになるので X_pと書いているけれど http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/218
219: １３２人目の素数さん [] 2025/07/30(水) 17:27:38.81 ID:Owbf1GR5 なんならdf_p(v)=v(f)でもいい http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/219
220: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/30(水) 17:29:07.62 ID:J31VdO3g >>215 どう見ても1つの変数じゃん http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/220
221: １３２人目の素数さん [] 2025/07/30(水) 17:30:33.62 ID:Owbf1GR5 >>218 >ただのベクトルよ ただの接ベクトルよ か http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/221
222: １３２人目の素数さん [] 2025/07/30(水) 17:33:32.99 ID:Owbf1GR5 >>216 >f(x)に対してg(x,f)を定義しようとしているということを 同じ記号f使ったので混乱させたかも知れんスマン φ(x)に対してg(x,φ)を定義しようとしているようなものよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/222
223: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/30(水) 17:36:16.27 ID:J31VdO3g nとかkとか書いたら整数と解釈するのと同じように、_pをつけた変数は点pに紐づいたベクトル空間を動く変数ですよって明示するために付けてるんだよ ハンガリアン記法みたいなもんだ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/223
224: １３２人目の素数さん [] 2025/07/30(水) 17:46:04.86 ID:5T+RajIt X_p は a derivation at p を表わす変数ということですか。 確かにそう解釈するのが正しそうですね。 >(df)_p は T_p(R^n) から R への線形写像です。 >T_p(R^n) の一般の元は Σ v^i * ∂/∂x^i |_p とかけますが、 >なぜ、 (df)_p への入力を X_p にしているのでしょうか？ そして、 T_p(R^n) の元をわざわざ標準的な基底の線形結合で v^1 * ∂/∂x^1 |_p + … + v^n * ∂/∂x^n |_p と書いて (df)_p : v^1 * ∂/∂x^1 |_p + … + v^1 * ∂/∂x^1 |_p → v^1 * ∂f(p)/∂x^1 + … + v^1 * ∂f(p)/∂x^n と定義するのは不自然ですね。 みなさん、ありがとうございました。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/224
225: １３２人目の素数さん [] 2025/07/30(水) 17:50:19.04 ID:5T+RajIt 訂正します： X_p は a derivation at p を表わす変数ということですか。 確かにそう解釈するのが正しそうですね。 >(df)_p は T_p(R^n) から R への線形写像です。 >T_p(R^n) の一般の元は Σ v^i * ∂/∂x^i |_p とかけますが、 >なぜ、 (df)_p への入力を X_p にしているのでしょうか？ そして、 T_p(R^n) の元をわざわざ標準的な基底の線形結合で v^1 * ∂/∂x^1 |_p + … + v^n * ∂/∂x^n |_p と書いて (df)_p : v^1 * ∂/∂x^1 |_p + … + v^n * ∂/∂x^n |_p → v^1 * ∂f(p)/∂x^1 + … + v^n * ∂f(p)/∂x^n と定義するのは不自然ですね。 みなさん、ありがとうございました。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/225
226: １３２人目の素数さん [] 2025/07/30(水) 18:01:38.28 ID:UzKE/KGY そもそも標準的な基底(∂/∂x^j)と言ってるけどUの座標系は1つ固定して考えているのだろうか ∂/∂x^jという記号の定義を勘違いしてはないだろうか http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/226
227: １３２人目の素数さん [] 2025/07/31(木) 14:29:49.55 ID:5t/NXspK あ、やっぱり X_p は U ⊂ R^n の点 p の関数と解釈しないとおかしいですね。 From any C^∞ function f : U → R, we can construct a 1-form df, called the differential of f, as follows. For p ∈ U and X_p ∈ T_p U, define (df)_p (X_p) = X_p f. X_p のが単なる一つの変数だとすると X_p の p には何の意味もないことになります。 (df)_p (X_p) = X_p f の(df)_p の p は U ⊂ R^n の点を表しています。それにもかかわらず、右辺には点 p についての情報が全くありません。 これは明らかにおかしなことです。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/227
228: １３２人目の素数さん [] 2025/07/31(木) 14:30:22.33 ID:5t/NXspK 訂正します： あ、やっぱり X_p は U ⊂ R^n の点 p の関数と解釈しないとおかしいですね。 From any C^∞ function f : U → R, we can construct a 1-form df, called the differential of f, as follows. For p ∈ U and X_p ∈ T_p U, define (df)_p (X_p) = X_p f. X_p が単なる一つの変数だとすると X_p の p には何の意味もないことになります。 (df)_p (X_p) = X_p f の(df)_p の p は U ⊂ R^n の点を表しています。それにもかかわらず、右辺には点 p についての情報が全くありません。 これは明らかにおかしなことです。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/228
229: １３２人目の素数さん [] 2025/07/31(木) 14:34:31.43 ID:5t/NXspK あ、 X_p はやっぱり p の関数ではないですね。ただし、点 p での derivation であるという情報はもっていますね。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/229
230: １３２人目の素数さん [] 2025/07/31(木) 14:46:35.45 ID:5t/NXspK Tuさんの本ですが、言葉での説明が足らないですね。 例えば、 (df)_p は方向ベクトルを入力として、 f の点 p での方向微分の値を返す関数ですが、このような説明が全くありません。 ただ、定義だけを書いています。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/230
231: １３２人目の素数さん [] 2025/07/31(木) 16:21:42.66 ID:5t/NXspK (df)_p(X_p) が f, p, X_p の3変数の関数 g で点 p での X_p 方向の f の方向微分を表わすということが分かれば、 df は点 p とそこでの方向ベクトル X_p が与えられたときに、 f の点 p での X_p 方向の f の方向微分を返す関数だと分かります。 (df)_p は方向ベクトル X_p が与えられたときに、 f の点 p での X_p 方向の f の方向微分を返す関数だと分かります。 X f は点 p が与えられたときに、 f の点 p での X_p 方向の f の方向微分を返す関数だと分かります。 色々な関数が登場しますが、それらが何なのかがはっきりと分かります。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/231
232: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/31(木) 16:29:40.17 ID:bu4D4TmA >For p ∈ U and X_p ∈ T_p U, define (df)_p (X_p) = X_p f. この文章読めば普通に分かるだろ For p ∈ U and X(p) ∈ T_p U で、動くのは関数Xなんて文章は英語としておかしいんだよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/232
233: １３２人目の素数さん [] 2025/07/31(木) 17:13:22.09 ID:5t/NXspK Tuさんは (df)_p(X_p) が f, p, X_p の3変数の関数 g で点 p での X_p 方向の f の方向微分を表わすということが分かっていれば自明な df = Σ ∂f/∂x^i dx^i という等式を長々とした見通しの悪い議論で証明しています。 df は点 p とそこでの方向ベクトル X_p が与えられたときに、点 p での X_p 方向の f の方向微分を返す関数です。 ですので、 dx^i は点 p には依存しない方向ベクトルにのみ依存する関数です。具体的には、方向ベクトルを入力としてその x^i 成分を返すような関数です。 df_p は方向ベクトル X_p が与えられたときに、 f の点 p での X_p 方向の方向微分を返す関数です。 合成関数の微分法の公式により、 df_p(X_p) = Σ ∂f(p)/∂x^i * (X_p の x_i 成分) = Σ ∂f(p)/∂x^i * (dx^i)_p(X_p) が成り立ちます。 よって、 df = Σ ∂f/∂x^i dx^i が成り立ちます。 自明です。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/233
234: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/31(木) 17:38:25.95 ID:bu4D4TmA d(x_i)を座標で書くのに証明しようとしてる定理が必要だろ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/234
235: １３２人目の素数さん [] 2025/07/31(木) 17:46:36.92 ID:5t/NXspK >>234 ちょっと何を言っているのか分かりませんが、いいたいことは、 Tuさんは、 (df)_p(X_p) が f, p, X_p の3変数の関数 g で点 p での X_p 方向の f の方向微分を表わすということさえ分かっていれば自明なことを色々と無駄に証明しているということです。 そして、 (df)_p(X_p) が f, p, X_p の3変数の関数 g で点 p での X_p 方向の f の方向微分を表わすということをはっきりと書いていません。 一体何がしたいんだという感じです。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/235
236: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/31(木) 18:10:18.74 ID:bu4D4TmA >>235 分かっていればの前に書いてあることを証明しろよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/236
237: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/31(木) 18:27:22.39 ID:bu4D4TmA 彼が何を証明しようとして、どう証明できたと主張しているのか1ミリも分からない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/237
238: １３２人目の素数さん [] 2025/07/31(木) 19:28:30.74 ID:H1SJ8SaT >>237 同感ｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/238
239: １３２人目の素数さん [] 2025/07/31(木) 19:32:56.93 ID:5t/NXspK 微分形式について初めて勉強していますが、深い話はなさそうだという印象です。 単なる非常に単純な代数的な話を抽象的でややこしく議論しているという印象です。 行列式の理論に深い話がないのと似ているという印象です。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/239
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