大学数学の質問スレ Part1 (319ﾚｽ)
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202(1): 07/29(火)20:16 ID:i5a4Qo4s(4/4) AAS
T_p(R^n) から R への写像を定義するのに、異質な X など使う必要がありません。
203: 07/29(火)20:23 ID:TQJw0m2i(1) AAS
仮引数なんだから変数1個で受け止めるのは普通やろ…
204: 07/29(火)21:46 ID:fRK0B8AG(2/2) AAS
>>202
なら何だったらいいの？x(小文字)とかaとかならいい？
それともベクトル空間の基底が与えられたら任意の元を表すのに一々その一次結合で書かないと気が済まないの？
205: 07/29(火)21:47 ID:CExXJBAc(1/2) AAS
vで
206(1): 07/29(火)22:16 ID:gfm8pxP0(1) AAS
>>198
個々の数では比較しようがないが、全体なら実数の方が高級である。
実数全体のなす集合は、極限操作で閉じているから。
207: 07/29(火)22:21 ID:CExXJBAc(2/2) AAS
>>206
その意味なら整数でも閉じてるんでは？
208(2): 07/30(水)08:34 ID:5T+RajIt(1/5) AAS
>>199-200
例えば、 g : [-1, 1] ∋ x → x^2 ∈ R を定義することを考えます。
この関数は、 g(sin(x)) という形でのみ使用することを考えています。
このときに、 g を g(sin(x)) = (sin(x))^2 と定義しているようなものですか？
209(2): 07/30(水)09:20 ID:cBIP43FE(1) AAS
>>208
df_pのpがその説明のxに当たるものよ
210(1): 07/30(水)14:45 ID:J31VdO3g(1/6) AAS
>>209
pはこの話に関係ないと思ってたけど違うんか？
引数は変数1個で受けるという基本を無視しようとする松坂君の主張が意味不明な話ではなくって
211(1): 07/30(水)16:24 ID:Owbf1GR5(1/6) AAS
>>210
彼の違和感の根源は
X_pがpの「関数」だってところから来てるんだと思ったからね
なぜそれが根源だと思ったかというと
>>200
>X1 ≠ X2 でも、ある点 p において、 X1_p = X2_p となるかもしれません。
と書いているから
212: 07/30(水)16:32 ID:J31VdO3g(2/6) AAS
>>211
あーその発想はなかったわ
確かに2つ目のレス単独で見るとそうなるな
今度は1つ目の線型結合でなんたらとか言ってたのはなんだったんだろうってなるが…
213: 07/30(水)16:38 ID:J31VdO3g(3/6) AAS
X_pみたいなのが単独の記号なのか、1つ変数かなんて柔軟に読まないと
f(x_1,...,x_n)なんて出てきただけで松坂君発狂すんじゃね
214: 07/30(水)16:39 ID:J31VdO3g(4/6) AAS
❌1つの変数か→関数の値か
215(2): 07/30(水)17:20 ID:5T+RajIt(2/5) AAS
For p ∈ U and X_p ∈ T_p U, define (df)_p (X_p) = X_p f.
と書いてあるので、 X_p は単なる1つの変数を表わす記号ではありません。
216(1): 07/30(水)17:23 ID:Owbf1GR5(2/6) AAS
>>208
>>209に書いたのは
pがその説明のxにあたり
g(x)を定義しようとしているのではなくて
f(x)に対してg(x,f)を定義しようとしているということを
理解すべきだということ
217: 07/30(水)17:24 ID:5T+RajIt(3/5) AAS
From any C^∞ function f : U → R, we can construct a 1-form df, called the differential of f, as follows. For p ∈ U and X_p ∈ T_p U, define (df)_p (X_p) = X_p f.
218(1): 07/30(水)17:26 ID:Owbf1GR5(3/6) AAS
>>215
>X_p は単なる1つの変数を表わす記号ではありません。
X_pはT_p Uの元だからただのベクトルよ
pごとに別々のベクトル空間のベクトルを考えることになるので
X_pと書いているけれど
219: 07/30(水)17:27 ID:Owbf1GR5(4/6) AAS
なんならdf_p(v)=v(f)でもいい
220: 07/30(水)17:29 ID:J31VdO3g(5/6) AAS
>>215
どう見ても1つの変数じゃん
221: 07/30(水)17:30 ID:Owbf1GR5(5/6) AAS
>>218
>ただのベクトルよ
ただの接ベクトルよ
か
222: 07/30(水)17:33 ID:Owbf1GR5(6/6) AAS
>>216
>f(x)に対してg(x,f)を定義しようとしているということを
同じ記号f使ったので混乱させたかも知れんスマン
φ(x)に対してg(x,φ)を定義しようとしているようなものよ
223: 07/30(水)17:36 ID:J31VdO3g(6/6) AAS
nとかkとか書いたら整数と解釈するのと同じように、_pをつけた変数は点pに紐づいたベクトル空間を動く変数ですよって明示するために付けてるんだよ
ハンガリアン記法みたいなもんだ
224: 07/30(水)17:46 ID:5T+RajIt(4/5) AAS
X_p は a derivation at p を表わす変数ということですか。
確かにそう解釈するのが正しそうですね。
>(df)_p は T_p(R^n) から R への線形写像です。
>T_p(R^n) の一般の元は Σ v^i * ∂/∂x^i |_p とかけますが、
>なぜ、 (df)_p への入力を X_p にしているのでしょうか？
そして、 T_p(R^n) の元をわざわざ標準的な基底の線形結合で v^1 * ∂/∂x^1 |_p + … + v^n * ∂/∂x^n |_p と書いて
(df)_p : v^1 * ∂/∂x^1 |_p + … + v^1 * ∂/∂x^1 |_p → v^1 * ∂f(p)/∂x^1 + … + v^1 * ∂f(p)/∂x^n
と定義するのは不自然ですね。
みなさん、ありがとうございました。
225: 07/30(水)17:50 ID:5T+RajIt(5/5) AAS
訂正します：
X_p は a derivation at p を表わす変数ということですか。
確かにそう解釈するのが正しそうですね。
>(df)_p は T_p(R^n) から R への線形写像です。
>T_p(R^n) の一般の元は Σ v^i * ∂/∂x^i |_p とかけますが、
>なぜ、 (df)_p への入力を X_p にしているのでしょうか？
そして、 T_p(R^n) の元をわざわざ標準的な基底の線形結合で v^1 * ∂/∂x^1 |_p + … + v^n * ∂/∂x^n |_p と書いて
(df)_p : v^1 * ∂/∂x^1 |_p + … + v^n * ∂/∂x^n |_p → v^1 * ∂f(p)/∂x^1 + … + v^n * ∂f(p)/∂x^n
と定義するのは不自然ですね。
みなさん、ありがとうございました。
226: 07/30(水)18:01 ID:UzKE/KGY(1) AAS
そもそも標準的な基底(∂/∂x^j)と言ってるけどUの座標系は1つ固定して考えているのだろうか
∂/∂x^jという記号の定義を勘違いしてはないだろうか
227: 07/31(木)14:29 ID:5t/NXspK(1/9) AAS
あ、やっぱり X_p は U ⊂ R^n の点 p の関数と解釈しないとおかしいですね。
From any C^∞ function f : U → R, we can construct a 1-form df, called the differential of f, as follows. For p ∈ U and X_p ∈ T_p U, define (df)_p (X_p) = X_p f.
X_p のが単なる一つの変数だとすると X_p の p には何の意味もないことになります。
(df)_p (X_p) = X_p f の(df)_p の p は U ⊂ R^n の点を表しています。それにもかかわらず、右辺には点 p についての情報が全くありません。
これは明らかにおかしなことです。
228: 07/31(木)14:30 ID:5t/NXspK(2/9) AAS
訂正します：
あ、やっぱり X_p は U ⊂ R^n の点 p の関数と解釈しないとおかしいですね。
From any C^∞ function f : U → R, we can construct a 1-form df, called the differential of f, as follows. For p ∈ U and X_p ∈ T_p U, define (df)_p (X_p) = X_p f.
X_p が単なる一つの変数だとすると X_p の p には何の意味もないことになります。
(df)_p (X_p) = X_p f の(df)_p の p は U ⊂ R^n の点を表しています。それにもかかわらず、右辺には点 p についての情報が全くありません。
これは明らかにおかしなことです。
229: 07/31(木)14:34 ID:5t/NXspK(3/9) AAS
あ、 X_p はやっぱり p の関数ではないですね。ただし、点 p での derivation であるという情報はもっていますね。
230: 07/31(木)14:46 ID:5t/NXspK(4/9) AAS
Tuさんの本ですが、言葉での説明が足らないですね。
例えば、 (df)_p は方向ベクトルを入力として、 f の点 p での方向微分の値を返す関数ですが、このような説明が全くありません。
ただ、定義だけを書いています。
231: 07/31(木)16:21 ID:5t/NXspK(5/9) AAS
(df)_p(X_p) が f, p, X_p の3変数の関数 g で点 p での X_p 方向の f の方向微分を表わすということが分かれば、
df は点 p とそこでの方向ベクトル X_p が与えられたときに、 f の点 p での X_p 方向の f の方向微分を返す関数だと分かります。
(df)_p は方向ベクトル X_p が与えられたときに、 f の点 p での X_p 方向の f の方向微分を返す関数だと分かります。
X f は点 p が与えられたときに、 f の点 p での X_p 方向の f の方向微分を返す関数だと分かります。
色々な関数が登場しますが、それらが何なのかがはっきりと分かります。
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