大学数学の質問スレ Part1 (322ﾚｽ)
大学数学の質問スレ Part1 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/
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197: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/28(月) 22:43:27.58 ID:YuDI7wQm べつに実数の公理を定めてそこからスタートしてもいいよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/197
198: １３２人目の素数さん [] 2025/07/29(火) 08:42:51.64 ID:i5a4Qo4s 自然数と実数はどちらがprimitiveなものなのかは決めることはできないですよね。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/198
199: １３２人目の素数さん [] 2025/07/29(火) 18:57:31.86 ID:i5a4Qo4s f : U → R を C^∞ 関数とする。 1-form df を以下で定義する。 (df)_p(X_p) = X_p f (df)_p は T_p(R^n) から R への線形写像です。 T_p(R^n) の一般の元は Σ v^i * ∂/∂x^i |_p とかけますが、 なぜ、 (df)_p への入力を X_p にしているのでしょうか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/199
200: １３２人目の素数さん [] 2025/07/29(火) 19:08:15.91 ID:i5a4Qo4s (df)_p への入力は X_p です。 T_p(R^n) の全ての元を得るには、 X を動かす必要があります。 ここで気持ちの悪いことが起こります。 X1 ≠ X2 でも、ある点 p において、 X1_p = X2_p となるかもしれません。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/200
201: １３２人目の素数さん [] 2025/07/29(火) 19:22:14.42 ID:fRK0B8AG 何も気持ち悪くないし何を問題にしようとしてるのか全くわからん http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/201
202: １３２人目の素数さん [] 2025/07/29(火) 20:16:52.56 ID:i5a4Qo4s T_p(R^n) から R への写像を定義するのに、異質な X など使う必要がありません。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/202
203: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/29(火) 20:23:20.33 ID:TQJw0m2i 仮引数なんだから変数1個で受け止めるのは普通やろ… http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/203
204: １３２人目の素数さん [] 2025/07/29(火) 21:46:16.95 ID:fRK0B8AG >>202 なら何だったらいいの？x(小文字)とかaとかならいい？ それともベクトル空間の基底が与えられたら任意の元を表すのに一々その一次結合で書かないと気が済まないの？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/204
205: １３２人目の素数さん [] 2025/07/29(火) 21:47:59.19 ID:CExXJBAc vで http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/205
206: １３２人目の素数さん [] 2025/07/29(火) 22:16:25.18 ID:gfm8pxP0 >>198 個々の数では比較しようがないが、全体なら実数の方が高級である。 実数全体のなす集合は、極限操作で閉じているから。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/206
207: １３２人目の素数さん [] 2025/07/29(火) 22:21:28.47 ID:CExXJBAc >>206 その意味なら整数でも閉じてるんでは？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/207
208: １３２人目の素数さん [] 2025/07/30(水) 08:34:02.33 ID:5T+RajIt >>199-200 例えば、 g : [-1, 1] ∋ x → x^2 ∈ R を定義することを考えます。 この関数は、 g(sin(x)) という形でのみ使用することを考えています。 このときに、 g を g(sin(x)) = (sin(x))^2 と定義しているようなものですか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/208
209: １３２人目の素数さん [] 2025/07/30(水) 09:20:44.93 ID:cBIP43FE >>208 df_pのpがその説明のxに当たるものよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/209
210: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/30(水) 14:45:41.36 ID:J31VdO3g >>209 pはこの話に関係ないと思ってたけど違うんか？ 引数は変数1個で受けるという基本を無視しようとする松坂君の主張が意味不明な話ではなくって http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/210
211: １３２人目の素数さん [] 2025/07/30(水) 16:24:08.33 ID:Owbf1GR5 >>210 彼の違和感の根源は X_pがpの「関数」だってところから来てるんだと思ったからね なぜそれが根源だと思ったかというと >>200 >X1 ≠ X2 でも、ある点 p において、 X1_p = X2_p となるかもしれません。 と書いているから http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/211
212: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/30(水) 16:32:51.68 ID:J31VdO3g >>211 あーその発想はなかったわ 確かに2つ目のレス単独で見るとそうなるな 今度は1つ目の線型結合でなんたらとか言ってたのはなんだったんだろうってなるが… http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/212
213: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/30(水) 16:38:50.64 ID:J31VdO3g X_pみたいなのが単独の記号なのか、1つ変数かなんて柔軟に読まないと f(x_1,...,x_n)なんて出てきただけで松坂君発狂すんじゃね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/213
214: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/30(水) 16:39:37.24 ID:J31VdO3g ❌1つの変数か→関数の値か http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/214
215: １３２人目の素数さん [] 2025/07/30(水) 17:20:55.67 ID:5T+RajIt For p ∈ U and X_p ∈ T_p U, define (df)_p (X_p) = X_p f. と書いてあるので、 X_p は単なる1つの変数を表わす記号ではありません。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/215
216: １３２人目の素数さん [] 2025/07/30(水) 17:23:35.18 ID:Owbf1GR5 >>208 >>209に書いたのは pがその説明のxにあたり g(x)を定義しようとしているのではなくて f(x)に対してg(x,f)を定義しようとしているということを 理解すべきだということ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/216
217: １３２人目の素数さん [] 2025/07/30(水) 17:24:50.66 ID:5T+RajIt From any C^∞ function f : U → R, we can construct a 1-form df, called the differential of f, as follows. For p ∈ U and X_p ∈ T_p U, define (df)_p (X_p) = X_p f. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/217
218: １３２人目の素数さん [] 2025/07/30(水) 17:26:01.61 ID:Owbf1GR5 >>215 >X_p は単なる1つの変数を表わす記号ではありません。 X_pはT_p Uの元だからただのベクトルよ pごとに別々のベクトル空間のベクトルを考えることになるので X_pと書いているけれど http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/218
219: １３２人目の素数さん [] 2025/07/30(水) 17:27:38.81 ID:Owbf1GR5 なんならdf_p(v)=v(f)でもいい http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/219
220: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/30(水) 17:29:07.62 ID:J31VdO3g >>215 どう見ても1つの変数じゃん http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/220
221: １３２人目の素数さん [] 2025/07/30(水) 17:30:33.62 ID:Owbf1GR5 >>218 >ただのベクトルよ ただの接ベクトルよ か http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/221
222: １３２人目の素数さん [] 2025/07/30(水) 17:33:32.99 ID:Owbf1GR5 >>216 >f(x)に対してg(x,f)を定義しようとしているということを 同じ記号f使ったので混乱させたかも知れんスマン φ(x)に対してg(x,φ)を定義しようとしているようなものよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/222
223: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/30(水) 17:36:16.27 ID:J31VdO3g nとかkとか書いたら整数と解釈するのと同じように、_pをつけた変数は点pに紐づいたベクトル空間を動く変数ですよって明示するために付けてるんだよ ハンガリアン記法みたいなもんだ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/223
224: １３２人目の素数さん [] 2025/07/30(水) 17:46:04.86 ID:5T+RajIt X_p は a derivation at p を表わす変数ということですか。 確かにそう解釈するのが正しそうですね。 >(df)_p は T_p(R^n) から R への線形写像です。 >T_p(R^n) の一般の元は Σ v^i * ∂/∂x^i |_p とかけますが、 >なぜ、 (df)_p への入力を X_p にしているのでしょうか？ そして、 T_p(R^n) の元をわざわざ標準的な基底の線形結合で v^1 * ∂/∂x^1 |_p + … + v^n * ∂/∂x^n |_p と書いて (df)_p : v^1 * ∂/∂x^1 |_p + … + v^1 * ∂/∂x^1 |_p → v^1 * ∂f(p)/∂x^1 + … + v^1 * ∂f(p)/∂x^n と定義するのは不自然ですね。 みなさん、ありがとうございました。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/224
225: １３２人目の素数さん [] 2025/07/30(水) 17:50:19.04 ID:5T+RajIt 訂正します： X_p は a derivation at p を表わす変数ということですか。 確かにそう解釈するのが正しそうですね。 >(df)_p は T_p(R^n) から R への線形写像です。 >T_p(R^n) の一般の元は Σ v^i * ∂/∂x^i |_p とかけますが、 >なぜ、 (df)_p への入力を X_p にしているのでしょうか？ そして、 T_p(R^n) の元をわざわざ標準的な基底の線形結合で v^1 * ∂/∂x^1 |_p + … + v^n * ∂/∂x^n |_p と書いて (df)_p : v^1 * ∂/∂x^1 |_p + … + v^n * ∂/∂x^n |_p → v^1 * ∂f(p)/∂x^1 + … + v^n * ∂f(p)/∂x^n と定義するのは不自然ですね。 みなさん、ありがとうございました。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/225
226: １３２人目の素数さん [] 2025/07/30(水) 18:01:38.28 ID:UzKE/KGY そもそも標準的な基底(∂/∂x^j)と言ってるけどUの座標系は1つ固定して考えているのだろうか ∂/∂x^jという記号の定義を勘違いしてはないだろうか http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/226
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