大学数学の質問スレ Part1 (322ﾚｽ)
上下前次1-新
187: 07/28(月)10:56 ID:w6CEDhLN(1/2) AAS
Loring W. Tu著『An Introduction to Manifolds Second Edition』
germというのが出てきますが、なぜこれを考える必要があるんですか？
実際、Tuさん自身も v 方向の方向微分を点 p の近傍で C^∞ であるような関数 f に対しては定義していますが、germの元に対しては定義していません。
ですが、突然、germの元に対して、その v 方向の方向微分を対応させる関数を考えています。
もちろん代表元を使って定義するというのは分かるのですが、正式には定義していません。
これはgermという概念が不要であることを意味しませんか？
例えば、 Z/(m*Z) という環など知らなくても、modだけで十分な場合が多いですよね。
Z/(m*Z) が体になるのは m が素数のときであるとかいう場合には、 Z/(m*Z) という概念が必要になると思いますが。
188: 07/28(月)12:59 ID:w6CEDhLN(2/2) AAS
Tuさんは都合の良いときにだけ、同値類として扱います。
189: 07/28(月)13:21 ID:rsmqEGIP(1) AAS
>>184 定義からつねにa[n]>1だからS[n]→∞。
なので a[n+1]=S[n]/(S[n]-1)=1/(1-1/S[n])→1 (n→∞)であきらか。
190: 07/28(月)13:58 ID:b3lcNN0d(1/3) AAS
>>185-186
つまり、M:コンパクト、f:モース関数と2つ仮定しないと成り立たないんですね
191: 07/28(月)15:09 ID:BO4Bo9lp(1/2) AAS
モース関数はいらなくない？
本にはコンパクトでモース関数だと臨界点は有限個ってもっと強いこと書いてあるよ
192(1): 07/28(月)15:17 ID:BO4Bo9lp(2/2) AAS
モース関数の定義にf^-1((-∞,a])がコンパクトが入ってるから、この問題だとモース関数だけでよくないかな
f^-1((-∞,1])がコンパクトだから、Mがコンパクトなのとたいして変わらなさそう
193: 07/28(月)16:21 ID:b3lcNN0d(2/3) AAS
>>192
通常、モース関数の定義は「臨界点がすべて非退化」だけだと思う。
もし、f^-1((-∞,a])がコンパクトも仮定するなら、Mのコンパクト性ははずせるが、特殊な定義の様に思う。
194: 07/28(月)16:23 ID:b3lcNN0d(3/3) AAS
退化した臨界点も許すボット式モース理論もあるが、私はよう知らん
195(1): 07/28(月)21:26 ID:Oyr8TCkw(1) AAS
初歩的な質問ですがお願いします
杉浦さんの解析学入門Ⅰで実数の公理として17個の性質を挙げています
その実数から自然数、整数、有理数を構成しています
この公理を満たす物が存在するかどうか分からないので、厳密に実数を定義するなら自然数の定義から始めないといけないというのをネットで見かけます
自然数の定義にしろ前述の実数の定義にしろ、公理だからそこに疑問を持つ必要はないのではと思います
196: 07/28(月)22:05 ID:hIzCVexn(1) AAS
>>195
よく分からんけど
実数の公理とやらで
我々の知る実数がそのモデルになるんじゃ無いの？
んでその公理を満たす集合が先に出来て
そこからその部分集合として自然数とかを定義するのは
そうおかしくもないような
197: 07/28(月)22:43 ID:YuDI7wQm(1) AAS
べつに実数の公理を定めてそこからスタートしてもいいよ。
198(1): 07/29(火)08:42 ID:i5a4Qo4s(1/4) AAS
自然数と実数はどちらがprimitiveなものなのかは決めることはできないですよね。
199(1): 07/29(火)18:57 ID:i5a4Qo4s(2/4) AAS
f : U → R を C^∞ 関数とする。
1-form df を以下で定義する。
(df)_p(X_p) = X_p f
(df)_p は T_p(R^n) から R への線形写像です。
T_p(R^n) の一般の元は Σ v^i * ∂/∂x^i |_p とかけますが、
なぜ、 (df)_p への入力を X_p にしているのでしょうか？
200(2): 07/29(火)19:08 ID:i5a4Qo4s(3/4) AAS
(df)_p への入力は X_p です。
T_p(R^n) の全ての元を得るには、 X を動かす必要があります。
ここで気持ちの悪いことが起こります。
X1 ≠ X2 でも、ある点 p において、 X1_p = X2_p となるかもしれません。
201: 07/29(火)19:22 ID:fRK0B8AG(1/2) AAS
何も気持ち悪くないし何を問題にしようとしてるのか全くわからん
202(1): 07/29(火)20:16 ID:i5a4Qo4s(4/4) AAS
T_p(R^n) から R への写像を定義するのに、異質な X など使う必要がありません。
203: 07/29(火)20:23 ID:TQJw0m2i(1) AAS
仮引数なんだから変数1個で受け止めるのは普通やろ…
204: 07/29(火)21:46 ID:fRK0B8AG(2/2) AAS
>>202
なら何だったらいいの？x(小文字)とかaとかならいい？
それともベクトル空間の基底が与えられたら任意の元を表すのに一々その一次結合で書かないと気が済まないの？
205: 07/29(火)21:47 ID:CExXJBAc(1/2) AAS
vで
206(1): 07/29(火)22:16 ID:gfm8pxP0(1) AAS
>>198
個々の数では比較しようがないが、全体なら実数の方が高級である。
実数全体のなす集合は、極限操作で閉じているから。
207: 07/29(火)22:21 ID:CExXJBAc(2/2) AAS
>>206
その意味なら整数でも閉じてるんでは？
208(2): 07/30(水)08:34 ID:5T+RajIt(1/5) AAS
>>199-200
例えば、 g : [-1, 1] ∋ x → x^2 ∈ R を定義することを考えます。
この関数は、 g(sin(x)) という形でのみ使用することを考えています。
このときに、 g を g(sin(x)) = (sin(x))^2 と定義しているようなものですか？
209(2): 07/30(水)09:20 ID:cBIP43FE(1) AAS
>>208
df_pのpがその説明のxに当たるものよ
210(1): 07/30(水)14:45 ID:J31VdO3g(1/6) AAS
>>209
pはこの話に関係ないと思ってたけど違うんか？
引数は変数1個で受けるという基本を無視しようとする松坂君の主張が意味不明な話ではなくって
211(1): 07/30(水)16:24 ID:Owbf1GR5(1/6) AAS
>>210
彼の違和感の根源は
X_pがpの「関数」だってところから来てるんだと思ったからね
なぜそれが根源だと思ったかというと
>>200
>X1 ≠ X2 でも、ある点 p において、 X1_p = X2_p となるかもしれません。
と書いているから
212: 07/30(水)16:32 ID:J31VdO3g(2/6) AAS
>>211
あーその発想はなかったわ
確かに2つ目のレス単独で見るとそうなるな
今度は1つ目の線型結合でなんたらとか言ってたのはなんだったんだろうってなるが…
213: 07/30(水)16:38 ID:J31VdO3g(3/6) AAS
X_pみたいなのが単独の記号なのか、1つ変数かなんて柔軟に読まないと
f(x_1,...,x_n)なんて出てきただけで松坂君発狂すんじゃね
214: 07/30(水)16:39 ID:J31VdO3g(4/6) AAS
❌1つの変数か→関数の値か
215(2): 07/30(水)17:20 ID:5T+RajIt(2/5) AAS
For p ∈ U and X_p ∈ T_p U, define (df)_p (X_p) = X_p f.
と書いてあるので、 X_p は単なる1つの変数を表わす記号ではありません。
216(1): 07/30(水)17:23 ID:Owbf1GR5(2/6) AAS
>>208
>>209に書いたのは
pがその説明のxにあたり
g(x)を定義しようとしているのではなくて
f(x)に対してg(x,f)を定義しようとしているということを
理解すべきだということ
上下前次1-新書関写板覧索設栞歴
あと 106 ﾚｽあります
ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ
ぬこの手 ぬこTOP 0.018s