面白い数学の問題おしえて～な 44問目 (229ﾚｽ)
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1(5): 05/01(木)12:31 ID:gmHMkXUG(1) AAS
面白い数学の問題を紹介して解き合うスレです
質問スレではありません
出題者が答えを知らない問題はお控えください
統計学などはスレ違い、数学以外の話題は論外です
荒らし、煽りはスルー推奨
前スレ
面白い数学の問題おしえて～な 43問目
2chｽﾚ:math
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200: 08/07(木)20:59 ID:DhukNUyo(1) AAS
ちゃんと勉強したかを試す問題なのはわかる
で、どこがどう面白い？
201: 08/11(月)01:28 ID:fRqBIPZy(1) AAS
Find all non-constant functions
f:ℤ → ℤ
such that
f(x-f(y)) = f(f(x)) - f(y) -1
holds for all x,y ∈ℤ.
202: 08/11(月)17:07 ID:LKCAkMsb(1) AAS
宿題なんですが提出締め切り過ぎたので教えてください
a[1]>1 ,
a[1]+a[2]+…+a[n]=a[1]×a[2]×…×a[n] (n≧2) をみたす数列{a[n]}について、
( 1/(a[1]-1) + 1/(a[2]-1) + 1/(a[3]-1) + … + 1/(a[n]-1) )/n^2 のn→∞の極限を求めよ。
203: 08/11(月)22:48 ID:Pq2BAI/Y(1/2) AAS
普通に再来月号を買えばいいだけの話なのに、こんなところでわざわざ解答乞食する理由は？
204: 08/11(月)22:53 ID:Pq2BAI/Y(2/2) AAS
あと付け加えると、面白い問題とは思えない
205: 08/12(火)05:14 ID:08QF4Run(1) AAS
これ懸賞問題だったのか
あっぶ
206(1): 08/12(火)10:06 ID:VI166Ty2(1/2) AAS
自然数nに対して
(1/x)+(1/y)=1/n
を満たす整数x, yの組は奇数組であることを証明せよ
207(1): 08/12(火)13:00 ID:epvPvzIT(1) AAS
>>206
x=yの場合
x=y=2nで成立
x≠yの場合
xとyを入れ替えても成立するので偶数組
よって解の総数は奇数
208: 08/12(火)17:14 ID:VI166Ty2(2/2) AAS
>>207
お見事です
209: 08/12(火)19:22 ID:MToRQVN4(1) AAS
ｎが任意定数なのか、変数なのか？
奇数組って、xとyが奇数の組なのか、組の総数が奇数なのか？
日本語は解り難い言語やな。
210: 08/12(火)21:51 ID:9WhM+6C5(1) AAS
何にせよ少なくとも有限個かどうかは示さないとだめくね
211: 08/13(水)03:48 ID:IPcCDEha(1) AAS
そういうことではないんじゃない？
xとyを入れ替えたものを除いても確かに奇数組ある
1
=1/2+1/2
1/2
=1/(-2)+1/1
=1/3+1/6
=1/4+1/4
1/3
=1/(-6)+1/2
=1/4+1/12
=1/6+1/6
1/4
=1/(-12)+1/3
=1/(-4)+1/2
=1/5+1/20
=1/6+1/12
=1/8+1/8
212(1): 08/13(水)04:03 ID:v773YyBJ(1/5) AAS
a₁ < 2 の場合は初項を a₁/(a₁-1) にとりかえれば第3項以降は同じになるので a₁ ≧ 2 と仮定してよい。Sₙ = Σₖ₌₁ⁿaₖ、Pₙ = Πₖ₌₁ⁿaₖ とする。aₙ₊₁ = Sₙ/(Pₙ-1) が成立する。
213: 08/13(水)04:03 ID:v773YyBJ(2/5) AAS
補題 Sₙ = Pₙ
(∵) n=1 では明らかに成立する。n=m で成立すると仮定する。aₘ₊₁ = Sₘ/(Pₘ-1) = Sₘ/(Sₘ-1) であるから Sₘ₊₁ = aₘ₊₁ + Sₘ = Sₘ/(Sₘ-1) + Sₘ = Sₘ²/(Sₘ-1)、Pₘ₊₁ = aₘ₊₁Sₘ = Sₘ/(Sₘ-1)Sₘ = Sₘ²/(Sₘ-1) により n=m+1 でも成立する。□
214: 08/13(水)04:03 ID:v773YyBJ(3/5) AAS
補題 n+1 ≦ Sₙ ≦ a₁ + n + log(n)
(∵)
Sₙ₊₁ = Sₙ + 1 + 1/Sₙ + 1/Sₙ² + ...
≦ Sₙ + 1 + 1/(n+1) + 1/(n+1)² + ..
= Sₙ + 1 + 1/n
≦ a + n +1 + log(n) + 1/n
≦ a + n +1 + log(n+1)
Sₙ₊₁ = Sₙ + 1 + 1/Sₙ + 1/Sₙ² + ...
≧ n+2
□
215: 08/13(水)04:04 ID:v773YyBJ(4/5) AAS
1/(aₙ-1) = 1/( Sₙ₋₁/(Sₙ₋₁-1) - 1 ) = Sₙ₋₁-1 (∀n≧2 )
216: 08/13(水)04:04 ID:v773YyBJ(5/5) AAS
Σₖ₌₁ⁿ1/(aₖ-1) = 1/2n(n+1) + o(n²)
217: 08/13(水)15:57 ID:+55xP2/J(1) AAS
lim[n→∞] ∫[1/n,1] {e^(-nx)-1}/{x^(n)} dx
を求めよ。
218(1): 08/13(水)20:45 ID:nQyqYDxf(1) AAS
n＞r＞sを満たす自然数n, r, sに対し、二項係数nCrとnCsは互いに素ではないことを証明せよ
219: 08/13(水)21:12 ID:YyYKqHVs(1) AAS
>>212 -216
すばらしい。ありがとうございます。
それにひきかえしょーもない書き込みしかできない203ときたら。
220: 08/14(木)01:55 ID:itMo6PT5(1) AAS
上で言われてる雑誌の懸賞って話は本当なの？
221: 08/14(木)05:29 ID:/DikW1nE(1) AAS
知らんがな
222: 08/14(木)19:50 ID:/CzpVmg3(1) AAS
出題者本人が否定しないならガチなんだろう
まあ〆切過ぎてるなら別に問題ないけどな
223: 08/15(金)12:41 ID:yd6fSpXf(1) AAS
lim[n→∞] ∫[1/n,1] {e^(-nx)-1}/x dx
を求めよ。
224(1): 08/15(金)13:20 ID:IcJOCdHO(1) AAS
極限と積分が入れ替えられない問題にしないと意味ないやろ
225: 08/15(金)14:13 ID:n4KBK1iW(1) AAS
>>224
私の出題は東大受験生が解くレベルの問題を想定しております
従いまして高校範囲での解答を期待します
226: 08/15(金)17:21 ID:5OgVZXhc(1/2) AAS
異なる17個の自然数を、どの隣り合う4個の自然数の和も100以上になるように横に並べる
17個の自然数の和が最小になるような並べ方を一つ示せ
227: 08/15(金)21:06 ID:oC7J3nsx(1) AAS
1,49,11,39,2,48,12,38,3,47,13,37,4,46,14,36,5
228: 08/15(金)22:05 ID:5OgVZXhc(2/2) AAS
お見事です
229: 08/16(土)05:21 ID:v5em7mVI(1) AAS
>>218
答えプリーズ
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