行列の特性多項式の係数は、detとtr以外も行列の成分で書けるの？ (12ﾚｽ)
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6(1): 04/16(水)18:35 ID:sgEksmoX(1/2) AAS
Q. (n次正方)行列Aの特性多項式の係数は、det(A)(定数項)とtr(A)(n-1次の項)以外も行列Aの成分で書けるの？
A.はい
まず特性多項式は、det( xI - A ) なので、
detを定義式通りに計算すれば、各係数は必ず求まるし
当然Aの成分以外のものは出て来ようがありません
まあ、線形代数を理解していればdetを定義式で計算する馬鹿はいないでしょう
nが大きくなれば手数が膨大になり現実的でないからです
基本変換で階段化すれば対角要素を掛けることでdetは求まります
この方法で特性多項式が計算できることは
例えば堀田良之「加群十話」にも書かれてます
さらに
１．特性多項式の根は固有値であり、したがって特性多項式の係数は固有値の基本対称式である
２．Aのｎ乗のtrは、Aの固有値のｎ乗和である
３．基本対称式は、べき和対称式を使って表すことができる
という３つの事実を知っていれば、特性多項式の係数をAとそのべき乗のtrを使って表せると分かります
これで1の質問に完璧に答えたのでこのスレッドは終了しました
さいなら さいなら さいなら
8: 04/16(水)19:19 ID:sgEksmoX(2/2) AAS
>>7
自己批判大変結構
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