複素解析5

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317: １３２人目の素数さん [] 2025/05/29(木) 00:04:29.80 ID:8NGDhp6I

>>316
>ソリトンと逆散乱法

ふーむ

http://gandalf.math.kyushu-u.ac.jp/~kaji/
梶原健司 九州大
http://gandalf.math.kyushu-u.ac.jp/~kaji/lectures/koukaikouza/text.pdf
公開講座の資料 「ソリトン〜不思議な波が運んできた，古くて新しい数学の物語」(pdf形式，約300KB) 入門レベル
2002年 8月9日，公開講座「現代数学入門」での講義
九州大学大学院数理学研究院 梶原健司
1.4 大ブレーク!
．Miura3 は手計算でKdV方程式(2)の保存量を13個求め4，最終的に保存量が無限個(!)あることを示しました．このような地道な努力の末，Gardner, Greene, Kruskal, Miura による大発見が生まれました．
それは次のようなものです．KdV方程式の初期値問題(t=0で初期波形u(x0)を与えて，任意の時刻tでのu(xt)を求める問題)は厳密に解ける．任意のN 個のソリトンの相互作用を記述する厳密な解がKdV方程式に存在する．それらは指数関数を用いて表される．偏微分方程式は解析が大変難しく，厳密に解けることはまずありません(だからコンピュータを用いて数値的に解析するのです)ので，KdV 方程式という特殊な方程式のみが対象であったにせよ，これは本当に画時代的な発見です．
GGKMの開発した方法は，現在逆散乱法と呼ばれています．
また，N 個のソリトンが相互作用する厳密な解をN-ソリトン解と呼びます．
いったん厳密解法が見つかってしまうと，その方法を発展させ，さまざまな方程式が同様の解法で解けるということがとわかってきました．
その後10年ほどの理論の発展は爆発的で，百を越える偏微分方程式がKdV方程式の仲間であり，ソリトンを記述し，かつ厳密に解けるということがわかりました．
まさに大ブレークです．それらの方程式はソリトン方程式と呼ばれます．
さて，その時，日本ではどのような状況だったのでしょうか．1967年，戸田盛和は格子振動の問題を考察する中で，次のような「おもちゃ」を考案しました．

https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_scattering_transform
Inverse scattering transform
In mathematics, the inverse scattering transform is a method that solves the initial value problem for a nonlinear partial differential equation using mathematical methods related to wave scattering.[1]: 4960 
The direct scattering transform describes how a function scatters waves or generates bound-states.[2]: 39–43 
The inverse scattering transform uses wave scattering data to construct the function responsible for wave scattering.[2]: 66–67 
The direct and inverse scattering transforms are analogous to the direct and inverse Fourier transforms which are used to solve linear partial differential equations.[2]: 66–67

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738535596/317

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